семинар 2, сложность 2: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

Брусок массой m равномерно втаскивают за нить вверх по наклонной плоскости, составляющей угол \alpha с горизонтом. Коэффициент трения \mu . Найти угол \beta , который должна составлять нить с наклонной плоскостью, чтобы сила натяжения нити T была наименьшей. Чему она равна?

Решение

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Брусок втаскивают равномерно, поэтому \vec{v}=\vec{C}onst , \vec{a}=\vec{0} .

Рассмотрим силы, действующие на брусок.

task1_fig1 Будем решать задачу, исходя из предположения о том, что нам неизвестен угол \beta , однако нам известно, что он существует и единственный. запишем второй закон Ньютона m \vec{g} +\vec{N}+\vec{F}_{тр.ск.}+\vec{T}=\vec{0} и спроецируем его на ось x : -mg\sin\alpha +0-F_{тр.ск.}+T\cos \beta = 0 и ось y : -mg\cos\alpha + N+0+T\sin\beta =0. Кроме того, по закону Кулона-Амонтона F_{тр.ск.} = \mu \cdot N. Итак, получаем \left\{

\begin{array}{lll}

T\cos\beta -mg\sin\alpha - F_{тр.ск.}=0,\\

N = mg\cos\alpha - T\sin\beta,

\end{array}\right. T\cos \beta - mg \sin\alpha - \mu mg \cos \alpha + \mu T\sin \beta = 0, T = \frac{mg\left( \sin\alpha + \mu \cos\alpha \right) }{\mu \sin\beta + \cos \beta }. В полученном выражении для силы натяжения нити числитель не зависит от \beta . Значит, чтобы T принимало минимальное значение, знаменатель должен принимать максимально возможное значение.

Обычно решение этой задачи сводится к исследованию функции f\left( \beta \right) = \mu \sin \beta + \cos \beta на экстремум.

Мы же воспользуемся известными формулами разложения: \sin\left( \varphi + \beta \right) = \sin \varphi \cos \beta + \cos\varphi \sin \beta. Здесь \varphi – вспомогательный угол.

Из явного вида рассматриваемой функции следует, что функцию f(\beta ) можно представить в виде некоторой тригонометрической функции \sin(\varphi +\beta ) (если представить коэффициенты \mu и 1 как \sin\varphi и \cos\varphi соответственно). Отметим, что \sin\left( \varphi =\beta \right) ограничена единицей. Функция f(\beta ) , вообще говоря, может принимать значения, большие 1 . Для решения этой проблемы умножим f(\beta ) на \frac{\sqrt{\mu ^2+1^2}}{\sqrt{\mu ^2+1^2}} \equiv 1 . Теперь мы можем преобразовать функцию f(\beta ) к виду \sin\left( \varphi +\beta \right) : \left( \mu \sin\beta +\cos \beta \right) \cdot \frac{\sqrt{\mu ^2+1^2}}{\sqrt{\mu ^2+1^2}} = \sqrt{\mu ^2+1} \left( \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2+1}} \sin\beta + \frac{1}{\sqrt{\mu ^2+1}}\cos \beta \right). Отсюда получаем, что дополнительный угол \varphi определяется следующим образом: \tg \varphi = \frac{1}{\mu }. Рассмотрим теперь выражение для силы натяжения нити, учитывая проведенное преобразование для знаменателя: T = \frac{mg \left( \sin\alpha + \mu \cos\alpha \right)}{\sqrt{\mu ^2+1} \sin \left(\varphi +\beta \right) }. Очевидно, что T принимает свое минимальное значение, когда знаменатель максимален, то есть когда \sin\left( \varphi + \beta \right) = 1. Значит, \beta = -\varphi = -\arctg \frac{1}{\mu } .

Ответ: \beta = -\arctg \frac{1}{\mu } , T_{min} = \frac{mg \left( \sin\alpha +\mu \cos\alpha \right) }{\sqrt{\mu ^2+1}} .

Задача 2

Условие

К концам нити, перекинутой через невесомый блок, привязаны бруски с массами m_1=m и m_2=4m , находящиеся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту \alpha = 30^o . При каком минимальном значении коэффициента трения скольжения между брусками они будут покоиться относительно земли? Нить невесомая и нерастяжимая.

task2_fig1 Решение

Сила сухого трения бывает двух видов – сила трения покоя (при покое одного тела относительно другого) и сила трения скольжения (при скольжении одного тела по поверхности другого): F_{тр} =

\left[

\begin{array}{lll}

F_{тр.п.} \leqslant F_{тр.ск.},\\

F_{тр.ск.} = \mu \cdot N.

\end{array}\right. Рассмотрим равновесие верхнего бруска относительно нижнего.

task2_fig2 Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Так как брусок покоится, геометрическая сумма сил, действующих на брусок, равна нулю: \vec{a}=\vec{0} , \vec{F}_\Sigma = \vec{0} .

Применим условие равновесия к первому бруску: m \vec{g} + \vec{N} + \vec{T}_1 + \vec{F}_{тр.п.1} = \vec{0}. Найдем проекции векторов на ось x : mg \sin \alpha + 0-T_1+F_{тр.п.1} = 0 и на ось y : -mg\cos \alpha + N +0+0=0. Значит, N = mg \cos\alpha. На грани проскальзывания сила трения покоя достигает своего максимального значения, равного силе трения скольжения: F_{тр.п.1} = \mu \cdot N = \mu mg \cos \alpha . Расставим силы, действующие на нижний брусок:

task2_fig3 На нижний брусок, кроме силы тяжести, силы реакции опоры со стороны плоскости и силы натяжения нити, действуют силы, появляющиеся в результате взаимодействия нижнего бруска с верхним – сила нормального давления верхнего бруска и сила трения покоя.

По третьему закону Ньютона: \left| \vec{N} \right| = \left| \vec{P} \right|, \left| \vec{F}_{тр.п.1} \right| = \left| \vec{F}_{тр.п.2} \right|. Так как нить невесомая: \left| \vec{T}_1 \right| = \left| \vec{T}_2 \right|. Упростим полученные ранее выражения. Первое условие равновесия для второго бруска примет вид: 4m \vec{g} + \vec{N}_2 +\vec{P}+\vec{T}_2 + \vec{F}_{тр.п.2} = \vec{0}. Проекция на ось x : 4mg \cdot \sin \alpha +0+0-T_2 - F_{тр.п.2} = 0. Получаем систему уравнений: \left\{

\begin{array}{lll}

4mg \sin \alpha = T_2 + F_{тр.п.2},\\

mg \sin \alpha + F_{тр.п.1} = T_1,\\

F_{тр.п.1} = F_{тр.п.2} = \mu mg \cos \alpha.

\end{array}\right. Выразим из первых двух уравнений силу натяжения нити: \left\{

\begin{array}{lll}

T_2 = 4 mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha,\\

T_1 = mg \sin\alpha + \mu mg \cos \alpha

\end{array}\right. и учтем невесомость нити: 4 mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = mg \sin \alpha + \mu mg \cos \alpha, 3 \sin\alpha = 2\mu \cos \alpha, \mu _{min} = \frac{3}{2}\tg \alpha, \mu _{min} = \frac{3}{2}\tg 30^o = \frac{\sqrt{3} }{2} \approx 0,88. Полученное значение \mu соответствует условию, когда сила трения покоя достигает своего максимального значения. Это и есть минимальное значение коэффициента трения покоя, при котором бруски еще не скользят друг относительно друга. При меньшем коэффициенте трения равновесие нарушится.

Ответ: 0,88 .