семинар 4, сложность 2: Часть 1

Видео

Конспект

Теоретическая справка: Сила сопротивления в жидкостях и газах

Механизм возникновения силы сопротивления

Вязкое трение – трение, возникающее между твердым телом и жидкостью (или газом).

Сила сопротивления возникает при движении тела в жидкости или газе и состоит из двух основных компонентов:

Лобовое сопротивление: тело наталкивается на частицы среды.

Турбулентное сопротивление: за телом образуется зона пониженного давления, из-за чего возникает встречная сила давления. Опыт показывает, что давление внутри движущейся жидкости меньше, чем давление в неподвижной жидкости. Таким образом, образуется перепад давления между передней и задней поверхностями тела.

teor_fig1 Лобовое сопротивление и наличие турбулентных потоков за телом увеличивает силу сопротивления в жидкости при движении тела со скоростью \vec{v} . Чтобы тело двигалось с постоянной скоростью, к телу нужно прикладывать силу F_0 .

Зависимость силы сопротивления от скорости

Опыт показывает, что сила сопротивления зависит от скорости F_c(v) . Характер зависимости определяется характером обтекания. В случае ламинарного режима обтекания (низкие скорости) F_c(v) = k_1\cdot v. В случае турбулентного режима обтекания (высокие скорости) F_c(v) = k_2\cdot v^2. Итак, при малых скоростях ( v < 200 м/с ) сила сопротивления прямо пропорциональна относительной скорости движения тела в вязкой среде: F_{сопр} = -k \vec{v}, где коэффициент k > 0 — коэффициент сопротивления.

Коэффициент сопротивления зависит от свойств жидкости, свойств тела, его формы и размеров.

Единица измерения коэффициента сопротивления в СИ: [k] = Н \cdot с/м = кг/с. Форму тел, при которой сила сопротивления минимальна (при прочих равных условиях), называют обтекаемой формой.

График зависимости силы сопротивления от скорости имеет вид, представленный на рис. [fig:teor_2].

teor_fig2 Стоит отметить, что скорость 200 м/с не является резкой границей: при приближении к этому значению линейная зависимость постепенно переходит в квадратичную.

Рассмотрим график зависимости проекции силы трения от проекции скорости (рис. [fig:teor_3]).

teor_fig3

Для вязкого трения отсутствует понятие трения покоя — даже малая сила вызывает движение тела в жидкости или газе.

Влияние формы тела

Опыт показывает, что форма тела существенно влияет на коэффициенты сопротивления k_1,k_2 .

Пример 1. Цилиндр с конической задней частью (рис. [fig:teor_4]) – сила сопротивления уменьшится и будет лежать в интервале (\frac{F_0}{4};\frac{F_0}{2}) . Наличие конической части уменьшает образование турбулентных потоков. Поэтому основной вклад в силу сопротивления вносит лобовое сопротивление.

teor_fig4

Пример 2. Чем более обтекаемой становится форма тела, тем меньше сила сопротивления (рис. [fig:teor_5]).

teor_fig5

Пример 3. Обтекаемая каплевидная форма (рис. [fig:teor_6]) – сила сопротивления уменьшается в 25 раз.

teor_fig6 Формула Стокса для шарообразных тел

Для малых скоростей тело шарообразной формы при движении в жидкости (газе) испытывает силу сопротивления, пропорциональную диаметру тела: F_c = 6\pi r \eta \cdot v. Здесь r – радиус тела, \eta – коэффициент динамической вязкости среды.

Практический пример

Парашютист весом F_T = 700H , падая (без парашюта), испытывает лобовое сопротивление с коэффициентом k' = 0.168 \frac{кг}{м}. Найдем скорость парашютиста.

Рассмотрим установившееся движение – силы тяжести и сопротивления компенсируют друг друга (рис. [fig:teor_7]): F_T = k'\cdot v_1^2. k' = {0,168 \frac{кг}{м}}

teor_fig7 Тогда скорость уставившегося падения: v_1 = \sqrt{\frac{F_T}{k'}} = \sqrt{\frac{700H}{0,168 \frac{кг}{м}}} \approx 64 \frac{м}{c}. Парашют увеличивает коэффициент лобового сопротивления: k'' = 29,7 \frac{кг}{м}. Условие равновесного падения остается прежним: F_T = k'' \cdot v_2^2. Отсюда получаем выражение для скорости: v_2 = \sqrt{\frac{F_T}{k''}} = \sqrt{\frac{700H}{29,7 \frac{кг}{м}}} \approx 4,8 \frac{м}{c}.

Задача 1

Условие

Шар массой m падает в жидкости с плотностью \rho с постоянной скоростью v . С какой силой нужно тянуть этот шар, для того, чтобы он поднимался в той же жидкости со скоростью 2v ? Плотность шара \rho_0 . Сила сопротивления при движении шара в жидкости пропорциональна его скорости.

Решение

Будем решать задачу в ИСО, связанной с Землей. Применим второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек: \vec{F}_\Sigma = m \cdot \vec{a} .

Заметим, что \vec{v}=\vec{C}ons t . Значит, в обоих случаях \vec{a}=\vec{0} . Таким образом, второй закон Ньютона вырождается в условие равновесия: \vec{F}_\Sigma = m \cdot \underbrace{\vec{a}}_{\vec{0}} = \vec{0}. Рассмотрим первый случай (падение шара в жидкости – рис. [fig:task1_1]).

task1_fig1 Применим второй закон Ньютона: m \vec{g} + \vec{F}_c + \vec{F}_a=\vec{0}, mg = F_c+F_a. Масса шара m = \rho_0 \cdot V. Учтем также выражения для силы сопротивления F_c = k\cdot v и силы Архимеда F_a = \rho gV. Отсюда получаем \rho_0gV = k\cdot v + \rho gV, kv = \left( \rho_0-\rho \right) gV. Рассмотрим второй случай – шар поднимают вверх в жидкости (рис. [fig:task1_2]).

task1_fig2 Скорость тела постоянна, поэтому \vec{F}_\Sigma =\vec{0}, m \vec{g} + \vec{F}_{c 2} +\vec{F}_a+\vec{F} = \vec{0}, mg + F_{c 2} = F_a+F, \rho_0 gV + k\cdot 2v = \rho gV+F, \left( \rho_0-\rho \right) gV + k\cdot 2v = F, 3kv= F. Итого, F = 3\left( \rho_0-\rho \right) \cdot g\cdot V = 3 \left( \rho_0-\rho \right) \cdot g\cdot \frac{m}{\rho_0} = 3mg \cdot \frac{\rho_0-\rho }{\rho_0}. Ответ: F = 3mg \left( 1- \frac{\rho }{\rho_0} \right)