семинар 4, сложность 2

Задача 2 Условие Два одинаковых шарика связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, причем один из шариков погружен в сосуд с жидкостью. С какой установившейся скоростью $v$ будут двигаться шарики, если известно, что установившаяся скорость падения одиночного шарика в той же жидкости равна $v_0$? Сила сопротивления жидкости пропорциональна скорости. Плотность жидкости равна $\rho_0$, плотность материала шариков равна $\rho $. Решение Будем решать задачу в ИСО, связанной с Землей. Применим второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек (размерами шарика пренебречь нельзя, но шарики движутся поступательно): $$\vec{F}_\Sigma = m \cdot \vec{a}. $$ Рассмотрим падение шарика в жидкости и расставим силы, действующие на него (рис. [fig:task2_2] ). Так как скорость постоянна $\vec{v}_0 = \vec{C}onst$, ускорение равно нулю $\vec{a}=\vec{0}$. Значит, $$ \vec{F}_\Sigma = \vec{0}=m \vec{g} + \vec{F}_{apx} + \vec{F}_c, $$ $$ mg = F_c+F_{apx}. $$ Выразим массу тела через его плотность и объем: $$ m = \rho \cdot V. $$ Учтем также выражения для силы Архимеда $$ F_{apx} = \rho_0gV $$ Известно, что сила вязкого сопротивления пропорциональна скорости: $F_c \sim v$. тогда $$ F_c = k\cdot v_0. $$ Коэффициент пропорциональности $k$ нам не известен. Подставим указанные выражения в полученное ранее уравнение $$ \rho gV = kv_0+\rho_0gV $$ и выразим $$ k = \frac{\left( \rho -\rho_0 \right) gV}{v_0}. $$ Теперь рассмотрим исходную систему (рис. [fig:task2_3] ). Учтем, что $\left| \vec{T}_1 \right| = \left| \vec{T}_2 \right|$ (нить невесома) и $\left| \vec{v}_1 \right| = \left| \vec{v}_2 \right| = v$ (нить нерастяжима). В данной системе первый шарик (в воздухе) движется вниз, а второй (в жидкости) движется вверх. Действительно, силой сопротивления воздуха, действующей на первый шарик можно пренебречь, а на второй шарик, кроме силы тяжести и натяжения нити, действует сила Архимеда, направленная вверх. Второй шарик начнет двигаться вверх, а сила сопротивления будет расти до тех пор, пока скорость шарика не станет постоянной. Таким образом, первый шарик будет опускаться, а второй шарик будет всплывать. Применим второй закон Ньютона: $$ m \vec{g}+\vec{T}_2+ \vec{F}_{apx} + \vec{F}_{c 2} = \vec{0}, $$ $$ mg+F_{c 2}=T_2+F_{apx}. $$ Аналогично для первого тела $$ m \vec{g}+ \vec{T}_1 = \vec{0}, $$ $$ T_1=mg. $$ Таким образом, $$ mg+F_{c 2} = mg+F_{apx}, $$ $$ F_{c 2}=F_{apx}, $$ $$ k\cdot v = \rho_0gV. $$ Значит, искомая скорость имеет вид $$ v = \frac{\rho_0gV}{k}. $$ Учтем полученное ранее выражение для $k$: $$ \frac{gV}{k} = \frac{v_0}{\rho -\rho_0}, $$ $$ v = \frac{\rho_0gV}{k} = \frac{\rho_0v_0}{\rho-\rho_0}. $$ Ответ: $v = \frac{\rho_0v_0}{\rho -\rho_0}$. Задача 3 Условие Начальная скорость тела $8 \frac{м}{c}$. При его движении на тело действует сила сопротивления, модуль которой пропорционален скорости тела согласно закону $F_с=kv$, где $k=0.2 \frac{кг}{c}$. Масса тела $2$ кг. Какой путь пройдёт тело до остановки? Решение Рассмотрим некоторое промежуточное состояние, в котором модуль скорости меньше начальной скорости, но тело продолжает движение в прежнем направлении (рис. [fig:task3_1] ). Отметим, что ускорение в данном случае не является постоянным. Более того, сила, скорость и ускорение связаны между собой достаточно сложным образом: $$ \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}, $$ $$ \vec{F}_c = m\cdot \vec{a}, $$ $$ -k \vec{v} = m\cdot \vec{a}. $$ Напомним определение мгновенной скорости $$ \vec{v} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\Big|_{\Delta t\to 0} $$ и мгновенного ускорения $$ \vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\Big|_{\Delta t\to 0}. $$ Для проекций справедливо: $$ v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t}\Big|_{\Delta t\to 0}, $$ $$ a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}\Big|_{\Delta t\to 0}. $$ Перейдем к проекции векторов для полученного ранее уравнения: $$ -k \cdot v_x = m\cdot a_x, $$ $$ -k \cdot \frac{\Delta x}{\Delta t} = m \frac{\Delta v_x}{\Delta t}, $$ $$ -k \cdot \Delta x = m\cdot \Delta v_x. $$ Сумма приращений координат тела (при условии движения в одном направлении) равна пройденному пути, а сумма приращений проекции скорости равна проекции приращения скорости. Рассмотрим начальное и конечное положения тела: $$ -k\cdot S = m \cdot \left( 0-v_0 \right), $$ $$ k\cdot S = mv_0, $$ $$ S = \frac{mv_0}{k} = \frac{2\ кг \cdot 8 \frac{м}{c}}{0,2 \frac{кг}{c}} = 80\ м. $$ Ответ: $80$ м. Задача 4 Условие Проехав «лежачего полицейского» со скоростью $v_0=5 \frac{км}{ч}$, автомобиль, двигаясь далее прямолинейно по горизонтальной дороге, увеличивает свою скорость таким образом, что сила тяги, развиваемая двигателем, оказывается пропорциональной скорости автомобиля. На расстоянии $S_1=30$ м от «полицейского» автомобиль достиг скорости $v_1=20 \frac{км}{ч}$. На каком расстоянии от «полицейского» у автомобиля будет скорость $v_2 = 30 \frac{км}{ч}$? Сопротивлением движению пренебречь. Решение Рассмотрим промежуточное положение автомобиля (рис. [fig:task4_2] ). Как и в предыдущей задаче, движение здесь не...