семинар 4, сложность 2: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 2

Условие

Два одинаковых шарика связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, причем один из шариков погружен в сосуд с жидкостью. С какой установившейся скоростью $v$ будут двигаться шарики, если известно, что установившаяся скорость падения одиночного шарика в той же жидкости равна $v_0$? Сила сопротивления жидкости пропорциональна скорости. Плотность жидкости равна $\rho_0$, плотность материала шариков равна $\rho $.

task2_fig1

Решение

Будем решать задачу в ИСО, связанной с Землей. Применим второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек (размерами шарика пренебречь нельзя, но шарики движутся поступательно): $$\vec{F}_\Sigma = m \cdot \vec{a}.

$$

Рассмотрим падение шарика в жидкости и расставим силы, действующие на него (рис. [fig:task2_2]).

task2_fig2

Так как скорость постоянна $\vec{v}_0 = \vec{C}onst$, ускорение равно нулю $\vec{a}=\vec{0}$. Значит, $$

\vec{F}_\Sigma = \vec{0}=m \vec{g} + \vec{F}_{apx} + \vec{F}_c,

$$ $$

mg = F_c+F_{apx}.

$$ Выразим массу тела через его плотность и объем: $$

m = \rho \cdot V.

$$

Учтем также выражения для силы Архимеда $$

F_{apx} = \rho_0gV

$$ Известно, что сила вязкого сопротивления пропорциональна скорости: $F_c \sim v$. тогда $$

F_c = k\cdot v_0.

$$ Коэффициент пропорциональности $k$ нам не известен.

Подставим указанные выражения в полученное ранее уравнение $$

\rho gV = kv_0+\rho_0gV

$$ и выразим $$

k = \frac{\left( \rho -\rho_0 \right) gV}{v_0}.

$$ Теперь рассмотрим исходную систему (рис. [fig:task2_3]). Учтем, что $\left| \vec{T}_1 \right| = \left| \vec{T}_2 \right|$ (нить невесома) и $\left| \vec{v}_1 \right| = \left| \vec{v}_2 \right| = v$ (нить нерастяжима).

task2_fig3

В данной системе первый шарик (в воздухе) движется вниз, а второй (в жидкости) движется вверх. Действительно, силой сопротивления воздуха, действующей на первый шарик можно пренебречь, а на второй шарик, кроме силы тяжести и натяжения нити, действует сила Архимеда, направленная вверх. Второй шарик начнет двигаться вверх, а сила сопротивления будет расти до тех пор, пока скорость шарика не станет постоянной. Таким образом, первый шарик будет опускаться, а второй шарик будет всплывать.

Применим второй закон Ньютона: $$

m \vec{g}+\vec{T}_2+ \vec{F}_{apx} + \vec{F}_{c 2} = \vec{0},

$$ $$

mg+F_{c 2}=T_2+F_{apx}.

$$ Аналогично для первого тела $$

m \vec{g}+ \vec{T}_1 = \vec{0},

$$ $$

T_1=mg.

$$ Таким образом, $$

mg+F_{c 2} = mg+F_{apx},

$$ $$

F_{c 2}=F_{apx},

$$ $$

k\cdot v = \rho_0gV.

$$ Значит, искомая скорость имеет вид $$

v = \frac{\rho_0gV}{k}.

$$ Учтем полученное ранее выражение для $k$: $$

\frac{gV}{k} = \frac{v_0}{\rho -\rho_0},

$$ $$

v = \frac{\rho_0gV}{k} = \frac{\rho_0v_0}{\rho-\rho_0}.

$$ Ответ: $v = \frac{\rho_0v_0}{\rho -\rho_0}$.

Задача 3

Условие

Начальная скорость тела $8 \frac{м}{c}$. При его движении на тело действует сила сопротивления, модуль которой пропорционален скорости тела согласно закону $F_с=kv$, где $k=0.2 \frac{кг}{c}$. Масса тела $2$ кг. Какой путь пройдёт тело до остановки?

Решение

Рассмотрим некоторое промежуточное состояние, в котором модуль скорости меньше начальной скорости, но тело продолжает движение в прежнем направлении (рис. [fig:task3_1]).

task3_fig1

Отметим, что ускорение в данном случае не является постоянным. Более того, сила, скорость и ускорение связаны между собой достаточно сложным образом: $$

\vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a},

$$ $$

\vec{F}_c = m\cdot \vec{a},

$$ $$

-k \vec{v} = m\cdot \vec{a}.

$$ Напомним определение мгновенной скорости $$

\vec{v} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\Big|_{\Delta t\to 0}

$$ и мгновенного ускорения $$

\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\Big|_{\Delta t\to 0}.

$$ Для проекций справедливо: $$

v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t}\Big|_{\Delta t\to 0},

$$ $$

a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}\Big|_{\Delta t\to 0}.

$$ Перейдем к проекции векторов для полученного ранее уравнения: $$

-k \cdot v_x = m\cdot a_x,

$$ $$

-k \cdot \frac{\Delta x}{\Delta t} = m \frac{\Delta v_x}{\Delta t},

$$ $$

-k \cdot \Delta x = m\cdot \Delta v_x.

$$ Сумма приращений координат тела (при условии движения в одном направлении) равна пройденному пути, а сумма приращений проекции скорости равна проекции приращения скорости.

Рассмотрим начальное и конечное положения тела: $$

-k\cdot S = m \cdot \left( 0-v_0 \right),

$$ $$

k\cdot S = mv_0,

$$ $$

S = \frac{mv_0}{k} = \frac{2\ кг \cdot 8 \frac{м}{c}}{0,2 \frac{кг}{c}} = 80\ м.

$$ Ответ: $80$ м.

Задача 4

Условие

Проехав «лежачего полицейского» со скоростью $v_0=5 \frac{км}{ч}$, автомобиль, двигаясь далее прямолинейно по горизонтальной дороге, увеличивает свою скорость таким образом, что сила тяги, развиваемая двигателем, оказывается пропорциональной скорости автомобиля. На расстоянии $S_1=30$ м от «полицейского» автомобиль достиг скорости $v_1=20 \frac{км}{ч}$. На каком расстоянии от «полицейского» у автомобиля будет скорость $v_2 = 30 \frac{км}{ч}$? Сопротивлением движению пренебречь.

task4_fig1

Решение

Рассмотрим промежуточное положение автомобиля (рис. [fig:task4_2]).

task4_fig2

Как и в предыдущей задаче, движение здесь не является равноускоренным. $$

\vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a},

$$ $$

\vec{F}_т = m\cdot \vec{a},

$$ причем сила тяги пропорциональна скорости: $$

k\cdot \vec{v} = m\cdot \vec{a}.

$$ Проводя аналогичные рассуждения, перейдем от векторных величин к проекциям: $$

k\cdot v_x = m\cdot a_x

$$ и мгновенным величинам: $$

k \frac{\Delta x}{\Delta t} = m \cdot \frac{\Delta v_x}{\Delta t}.

$$ Отсюда получаем $$

k\cdot \Delta x = m \cdot \Delta v_x.

$$ Применим полученное уравнение к указанным в условии задачи случаям прохождения автомобилем расстояний $S_1$ и $S_2$): $$

\left\{

\begin{array}{lll}

k\cdot S_1 = m\cdot \left( v_1-v_0 \right),\\

k\cdot S_2 = m\cdot \left( v_2-v_0 \right).

\end{array}\right.

$$ Разделим первое уравнение на второе: $$

\frac{S_1}{S_2} = \frac{v_1-v_0}{v_2-v_0},

$$ $$

S_2 = S_1 \cdot \frac{v_2-v_0}{v_1-v_0},

$$ $$

S_2 = 30\ м \cdot \frac{30 \frac{км}{ч}-5\frac{км}{ч}}{20\frac{км}{ч} - 5\frac{км}{ч}} = 50\ м.

$$ Ответ: $50$ м.