семинар 8, сложность 2: Часть 1
Физика, 9 класс
Теоретическая справка: Динамика движения материальной точки по окружности Основное уравнение динамики Применяем второй закон Ньютона к материальной точке массой $m$, движущейся по окружности радиуса $...
Видео
Конспект
Теоретическая справка: Динамика движения материальной точки по окружности
Основное уравнение динамики
Применяем второй закон Ньютона к материальной точке массой $m$, движущейся по окружности радиуса $r$ постоянного радиуса $r= Const$: $$
\vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}.
$$ Равнодействующая сила F, сообщающая ускорение, всегда направлена внутрь закругления траектории.
Движение по криволинейной траектории требует изменения направления вектора скорости. Это изменение обеспечивается центростремительным (нормальным) ускорением: $$
a_n = \frac{v^2}{r}.
$$ Если модуль скорости $v$ постоянен, равнодействующая сила направлена к центру окружности (центру кривизны траектории), а тангенциальное ускорение равно нулю $a_\tau = 0$.
Если модуль скорости $v$ изменяется, кроме нормального (центростремительного) ускорения, появляется тангенциальное ускорение $a_\tau $, характеризующее изменение величины скорости (рис. [fig:t1]). Оно связано с угловым ускорением $\beta $ соотношением: $$
a_\tau = \beta \cdot r.
$$
t1
Полное ускорение является векторной суммой нормальной и тангенциальной компонент: $$
\vec{a}= \vec{a}_n + \vec{a}_\tau.
$$ Модуль полного ускорения: $$
\left| \vec{a} \right| = \sqrt{ \left|\vec{a}_n \right|^2 + \left| \vec{a}_\tau \right|^2 }.
$$ Линейная скорость связана с радиусом кривизны траектории: $$
v = \omega \cdot r.
$$ Тогда нормальное ускорение имеет следующую связь с угловой скоростью: $$
a_n = \omega ^2 \cdot r.
$$ Знак тангенциального ускорения $a_\tau $ (и проекции силы $F_\tau $ на тангенциальную ось, совпадающую с вектором мгновенной скорости) определяет изменение модуля скорости: если $\vec{a}_\tau$ сонаправлено с $\vec{v}$, модуль скорости увеличивается, если $\vec{a}_\tau$ противоположно направлено $\vec{v}$, модуль скорости уменьшается.
Уравнение вращательного движения
Без ограничения общности зададим направления скорости и силытак, как показано на рисунке (рис. [fig:t2]). Применим второй закон Ньютона.
t2
Найдем проекции силы на нормальную и тангенциальную оси: $$
F_n = F\cdot \cos \alpha,
$$ $$
F_\tau = F\cdot \sin\alpha.
$$ Тогда из второго закона Ньютона получаем $$
\left\{
\begin{array}{lll}
F_n = m\cdot a_n,\\
F_\tau = m\cdot a_\tau.
\end{array}\right.
$$ Рассмотрим подробнее второе уравнение системы: $$
F\cdot \sin\alpha = m\cdot \beta \cdot r.
$$ где угловое ускорение показывает быстроту изменения угловой скорости: $$
\beta = \frac{\Delta \omega }{\Delta t}\Big|_{\Delta t \to 0}.
$$ Умножим рассматриваемое уравнение на $r$ слева и справа: $$
r\cdot F\cdot \sin\alpha = m\cdot r^2 \cdot \beta .
$$ Отметим, что в левая часть уравнения представляет собой момент силы $M$. Введем обозначение $J \equiv mr^2$ (момент инерции материальной точки). Тогда уравнение приобретает вид: $$
M = J\cdot \beta.
$$ Это уравнение указывает на связь между величиной, характеризующей вращательное действие силы и угловым ускорением, которое это сила сообщает: $$
\beta = \frac{M}{J}.
$$ Момент инерции материальной точки – $$
J = m\cdot r^2,
$$ $$\left[ J \right] = 1 кг\cdot м^2.
$$