семинар 8, сложность 2

Теоретическая справка: Динамика движения материальной точки по окружности Основное уравнение динамики Применяем второй закон Ньютона к материальной точке массой $m$, движущейся по окружности радиуса $r$ постоянного радиуса $r= Const$: $$ \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}. $$ Равнодействующая сила F, сообщающая ускорение, всегда направлена внутрь закругления траектории. Движение по криволинейной траектории требует изменения направления вектора скорости. Это изменение обеспечивается центростремительным (нормальным) ускорением: $$ a_n = \frac{v^2}{r}. $$ Если модуль скорости $v$ постоянен, равнодействующая сила направлена к центру окружности (центру кривизны траектории), а тангенциальное ускорение равно нулю $a_\tau = 0$. Если модуль скорости $v$ изменяется, кроме нормального (центростремительного) ускорения, появляется тангенциальное ускорение $a_\tau $, характеризующее изменение величины скорости (рис. [fig:t1] ). Оно связано с угловым ускорением $\beta $ соотношением: $$ a_\tau = \beta \cdot r. $$ Полное ускорение является векторной суммой нормальной и тангенциальной компонент: $$ \vec{a}= \vec{a}_n + \vec{a}_\tau. $$ Модуль полного ускорения: $$ \left| \vec{a} \right| = \sqrt{ \left|\vec{a}_n \right|^2 + \left| \vec{a}_\tau \right|^2 }. $$ Линейная скорость связана с радиусом кривизны траектории: $$ v = \omega \cdot r. $$ Тогда нормальное ускорение имеет следующую связь с угловой скоростью: $$ a_n = \omega ^2 \cdot r. $$ Знак тангенциального ускорения $a_\tau $ (и проекции силы $F_\tau $ на тангенциальную ось, совпадающую с вектором мгновенной скорости) определяет изменение модуля скорости: если $\vec{a}_\tau$ сонаправлено с $\vec{v}$, модуль скорости увеличивается, если $\vec{a}_\tau$ противоположно направлено $\vec{v}$, модуль скорости уменьшается. Уравнение вращательного движения Без ограничения общности зададим направления скорости и силытак, как показано на рисунке (рис. [fig:t2] ). Применим второй закон Ньютона. Найдем проекции силы на нормальную и тангенциальную оси: $$ F_n = F\cdot \cos \alpha, $$ $$ F_\tau = F\cdot \sin\alpha. $$ Тогда из второго закона Ньютона получаем $$ \left\{ \begin{array}{lll} F_n = m\cdot a_n,\\ F_\tau = m\cdot a_\tau. \end{array}\right. $$ Рассмотрим подробнее второе уравнение системы: $$ F\cdot \sin\alpha = m\cdot \beta \cdot r. $$ где угловое ускорение показывает быстроту изменения угловой скорости: $$ \beta = \frac{\Delta \omega }{\Delta t}\Big|_{\Delta t \to 0}. $$ Умножим рассматриваемое уравнение на $r$ слева и справа: $$ r\cdot F\cdot \sin\alpha = m\cdot r^2 \cdot \beta . $$ Отметим, что в левая часть уравнения представляет собой момент силы $M$. Введем обозначение $J \equiv mr^2$ ( момент инерции материальной точки ). Тогда уравнение приобретает вид: $$ M = J\cdot \beta. $$ Это уравнение указывает на связь между величиной, характеризующей вращательное действие силы и угловым ускорением, которое это сила сообщает: $$ \beta = \frac{M}{J}. $$ Момент инерции материальной точки – $$ J = m\cdot r^2, $$ $$\left[ J \right] = 1 кг\cdot м^2. $$