семинар 8, сложность 2

Векторная форма уравнений вращательного движения материальной точки Второй закон Ньютона $$ \vec{F} = m\cdot \vec{a} $$ можно применить к динамике движения по криволинейной траектории. Момент силы, действующей на материальную точку относительно точки O (центра окружности/оси вращения), определяется как векторное произведение: $$ \vec{M} = \vec{r}\times \vec{F}. $$ Для любого вектора $\vec{c}$, являющегося векторным произведением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ $$ \vec{c}= \vec{a}\times \vec{b}, $$ направление определяется правилом правого винта, а модуль – по формуле $$ \left| \vec{c} \right| = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin\alpha. $$ Таким образом, направление псевдовектора $\vec{M}$ определяется правилом правого винта (буравчика) и ортогонально (перпендикулярно) плоскости, содержащей векторы $\vec{r}$ и $\vec{F}$. Вернемся ко второму закону Ньютона. Умножим обе части уравнения векторно слева на $\vec{r}$: $$ \vec{r}\times \vec{F} = m\cdot \vec{r} \times \vec{a}. $$ В левой части уравнения – момент силы. В правой части уравнения – полное ускорение, которое можно представить в виде $$ \vec{a}=\vec{a}_n + \vec{a}_\tau. $$ Преобразуем полученное равенство: $$ \vec{r}\times \vec{F} = m \vec{r} \times \left( \vec{a}_n + \vec{a}_\tau \right) = m \big( \underbrace{\vec{r} \times \vec{a}_n}_{=0} + \vec{r} \times \vec{a}_\tau \big) = m\cdot \vec{r} \times \vec{a}_\tau = m\cdot \vec{r} \times \left( \vec{\beta}\times \vec{r} \right). $$ Для двойного векторного произведения справедлива следующая формула: $$ \vec{a}\times \vec{b}\times \vec{c} = \vec{b}\cdot \left( \vec{a},\vec{c} \right) - \vec{c}\cdot \left( \vec{a},\vec{b} \right). $$ Воспользуемся этой формулой для преобразования правой части полученного ранее равенства: $$ \vec{r}\times \vec{\beta} \times \vec{r} = \vec{\beta}\cdot \left( \vec{r},\vec{r} \right) - \vec{r}\cdot \underbrace{\left( \vec{r},\vec{\beta} \right)}_{=0} = \vec{\beta}\cdot r^2. $$ Здесь мы воспользовались определением скалярного произведения: $$ c = \left( \vec{a},\vec{b} \right) = \left| \vec{a} \right| \cdot |\vec{b}|\cdot \cos \alpha. $$ Таким образом, получаем $$ \vec{M} = \vec{\beta}\cdot r^2\cdot m. $$ Учтем обозначение $J = mr^2$. Отсюда получаем $$ \vec{\beta} = \frac{\vec{M}}{J} $$ – вращательный аналог второго закона Ньютона в векторной форме. Теоретическая справка: Динамика вращательного движения абсолютно твердого тела Переход от материальной точки к твердому телу При описании движения материальной точки по окружности можно перейти от вектора силы и линейного ускорения $$ \vec{F} = m\cdot \vec{a} $$ к моменту силы и угловому ускорению (рис. [fig:theory_1] ): $$ \vec{M} = J\cdot \vec{\beta}. $$ В большинстве простых задач можно перейти к скалярным величинам: $$ \beta = \frac{M}{J}. $$ Здесь момент инерции – $$ J = m\cdot r^2. $$ Рассмотрим вращательное движение абсолютного твердого тела – тела, у которого расстояния между любыми точками неизменны (рис. [fig:theory_2] ). Особенности вращения вокруг закрепленной оси: Линейная скорость точки зависит от ее расстояния до оси: $v = \omega \cdot r$. Так как у разных точек тела расстояния до оси поворота различны ($r_i \neq r_j$), то и угловые скорости этих точек будут различны:$v_i \neq v_j$. Угловая скорость $\vec{\omega}$ и угловое ускорение $\vec{\beta}$ одинаковы для всех точек тела. Использование угловых величин предпочтительно, так как они универсальны для всего тела. Применение второго закона Ньютона к твердому телу: Представим тело как совокупность $N$ материальных точек с массами $\Delta m_i$: $$ \sum\limits_{i=1}^{N} \Delta m_i = m. $$ Для каждой точки $i$ справедливо уравнение вращательного движения: $$ \vec{M}_{\Sigma i} = J_i \cdot \vec{\beta}, $$ где $M_{\Sigma i}$ – сумма моментов сил,действующих на $i$-ю точку, $J_i$ – момент инерции этой точки: $$ J_i = \Delta m_i \cdot r_i^2. $$ Сложим все уравнения для всех точек: $$ \sum\limits_{}^{} \vec{M}_i = \vec{\beta} \sum\limits_{}^{} J_i = \vec{\beta} \sum\limits_{}^{} \Delta m_i \cdot r_i^2. $$ Сумма $\sum\limits_{}^{} \vec{M}_i$ включает моменты как внутренних, так и внешних сил (рис. [fig:theory_3] ). По третьему закону Ньютона силы взаимодействия между точками тела равны по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой $$ \vec{F}_{ij} = -\vec{F}_{ji}. $$ Их моменты относительно любой оси компенсируют друг друга. Остается сумма моментов внешних сил, действующих на тело. Таким образом, основное уравнение динамики вращения твердого тела имеет вид $$ \vec{M}_\Sigma = \vec{\beta}\cdot J. $$ Вычисление моментов инерции Определение момента инерции абсолютно твердого тела $$ J = \sum\limits_{}^{} \Delta J_i = \sum\limits_{}^{} \Delta m_i \cdot r_i^2, $$ где $$ \sum\limits_{}^{} \Delta m_i \Big|_{\Delta m_i \to 0} = m. $$ Для тел правильной формы и постоянной плотности удобно ввести понятие центрального момента инерции – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела. Для обруча, диска, сферы, шар и тонкого стержня центральны...