семинар 8, сложность 2: Часть 2

Видео

Конспект

Векторная форма уравнений вращательного движения материальной точки

Второй закон Ньютона $$

\vec{F} = m\cdot \vec{a}

$$ можно применить к динамике движения по криволинейной траектории.

Момент силы, действующей на материальную точку относительно точки O (центра окружности/оси вращения), определяется как векторное произведение: $$

\vec{M} = \vec{r}\times \vec{F}.

$$ Для любого вектора $\vec{c}$, являющегося векторным произведением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ $$

\vec{c}= \vec{a}\times \vec{b},

$$ направление определяется правилом правого винта, а модуль – по формуле $$

\left| \vec{c} \right| = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin\alpha.

$$ Таким образом, направление псевдовектора $\vec{M}$ определяется правилом правого винта (буравчика) и ортогонально (перпендикулярно) плоскости, содержащей векторы $\vec{r}$ и $\vec{F}$.

Вернемся ко второму закону Ньютона. Умножим обе части уравнения векторно слева на $\vec{r}$: $$

\vec{r}\times \vec{F} = m\cdot \vec{r} \times \vec{a}.

$$ В левой части уравнения – момент силы. В правой части уравнения – полное ускорение, которое можно представить в виде $$

\vec{a}=\vec{a}_n + \vec{a}_\tau.

$$ Преобразуем полученное равенство: $$

\vec{r}\times \vec{F} = m \vec{r} \times \left( \vec{a}_n + \vec{a}_\tau \right) = m \big( \underbrace{\vec{r} \times \vec{a}_n}_{=0} + \vec{r} \times \vec{a}_\tau \big) = m\cdot \vec{r} \times \vec{a}_\tau = m\cdot \vec{r} \times \left( \vec{\beta}\times \vec{r} \right).

$$ Для двойного векторного произведения справедлива следующая формула: $$

\vec{a}\times \vec{b}\times \vec{c} = \vec{b}\cdot \left( \vec{a},\vec{c} \right) - \vec{c}\cdot \left( \vec{a},\vec{b} \right).

$$ Воспользуемся этой формулой для преобразования правой части полученного ранее равенства: $$

\vec{r}\times \vec{\beta} \times \vec{r} = \vec{\beta}\cdot \left( \vec{r},\vec{r} \right) - \vec{r}\cdot \underbrace{\left( \vec{r},\vec{\beta} \right)}_{=0} = \vec{\beta}\cdot r^2.

$$ Здесь мы воспользовались определением скалярного произведения: $$

c = \left( \vec{a},\vec{b} \right) = \left| \vec{a} \right| \cdot |\vec{b}|\cdot \cos \alpha.

$$ Таким образом, получаем $$

\vec{M} = \vec{\beta}\cdot r^2\cdot m.

$$ Учтем обозначение $J = mr^2$. Отсюда получаем $$

\vec{\beta} = \frac{\vec{M}}{J}

$$ – вращательный аналог второго закона Ньютона в векторной форме.

Теоретическая справка: Динамика вращательного движения абсолютно твердого тела

Переход от материальной точки к твердому телу

При описании движения материальной точки по окружности можно перейти от вектора силы и линейного ускорения $$

\vec{F} = m\cdot \vec{a}

$$ к моменту силы и угловому ускорению (рис. [fig:theory_1]): $$

\vec{M} = J\cdot \vec{\beta}.

$$

theory_fig1

В большинстве простых задач можно перейти к скалярным величинам: $$

\beta = \frac{M}{J}.

$$ Здесь момент инерции – $$

J = m\cdot r^2.

$$

Рассмотрим вращательное движение абсолютного твердого тела – тела, у которого расстояния между любыми точками неизменны (рис. [fig:theory_2]).

theory_fig2

Особенности вращения вокруг закрепленной оси:

Линейная скорость точки зависит от ее расстояния до оси: $v = \omega \cdot r$. Так как у разных точек тела расстояния до оси поворота различны ($r_i \neq r_j$), то и угловые скорости этих точек будут различны:$v_i \neq v_j$.

Угловая скорость $\vec{\omega}$ и угловое ускорение $\vec{\beta}$ одинаковы для всех точек тела.

Использование угловых величин предпочтительно, так как они универсальны для всего тела.

Применение второго закона Ньютона к твердому телу:

Представим тело как совокупность $N$ материальных точек с массами $\Delta m_i$: $$

\sum\limits_{i=1}^{N} \Delta m_i = m.

$$

Для каждой точки $i$ справедливо уравнение вращательного движения: $$

\vec{M}_{\Sigma i} = J_i \cdot \vec{\beta},

$$ где $M_{\Sigma i}$ – сумма моментов сил,действующих на $i$-ю точку, $J_i$ – момент инерции этой точки: $$

J_i = \Delta m_i \cdot r_i^2.

$$

Сложим все уравнения для всех точек: $$

\sum\limits_{}^{} \vec{M}_i = \vec{\beta} \sum\limits_{}^{} J_i = \vec{\beta} \sum\limits_{}^{} \Delta m_i \cdot r_i^2.

$$

Сумма $\sum\limits_{}^{} \vec{M}_i$ включает моменты как внутренних, так и внешних сил (рис. [fig:theory_3] ).

По третьему закону Ньютона силы взаимодействия между точками тела равны по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой $$

\vec{F}_{ij} = -\vec{F}_{ji}.

$$ Их моменты относительно любой оси компенсируют друг друга.

Остается сумма моментов внешних сил, действующих на тело.

Таким образом, основное уравнение динамики вращения твердого тела имеет вид $$

\vec{M}_\Sigma = \vec{\beta}\cdot J.

$$

theory_fig3

Вычисление моментов инерции

Определение момента инерции абсолютно твердого тела $$

J = \sum\limits_{}^{} \Delta J_i = \sum\limits_{}^{} \Delta m_i \cdot r_i^2,

$$ где $$

\sum\limits_{}^{} \Delta m_i \Big|_{\Delta m_i \to 0} = m.

$$ Для тел правильной формы и постоянной плотности удобно ввести понятие центрального момента инерции – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Для обруча, диска, сферы, шар и тонкого стержня центральные моменты инерции представлены на рис. [fig:theory_4].

theory_fig4

Докажем некоторые из приведенных формул.

Момент инерции обруча относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча, и проходящей через его центр масс (рис. [fig:theory_5]).

theory_fig5

Разобьем обруч на малые части, которые можно считать материальными точками, причем: $$

\sum\limits_{}^{} \Delta m_i = m,

$$ $$

\sum\limits_{}^{} \Delta l_i = 2\pi R.

$$ Расстояние от оси поворота до любой из рассматриваемых точек равно $R$. Значит, для элементарных моментов инерции получаем $$

\Delta J_i = \Delta m_i \cdot R^2.

$$ Просуммируем все элементарные моменты инерции: $$

J = \sum\limits_{}^{} \Delta J_i = \sum\limits_{}^{} \Delta m_i \cdot R^2 = R^2 \sum\limits_{i=1}^{N} \Delta m_i = mR^2.

$$

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс (рис. [fig:theory_6]).

theory_fig6

Представим диск в виде совокупности тонких колец. Масса каждого выделенного фрагмента пропорционально площади этого фрагмента (рис. [fig:theory_7]).

theory_fig7

Радиус $x$ каждого выделенного фрагмента – $x \in \left[ 0;R \right]$, толщина – $\Delta x$: $$

\sum\limits_{}^{} \Delta x = R.

$$ Площадь тонкого кольца: $$

\Delta S = 2\pi x\cdot \Delta x.

$$ Так как диск однородный, $$

\frac{\Delta m}{m} = \frac{\Delta S}{S}.

$$ Отсюда получаем выражение для массы одного тонкого кольца: $$

\Delta m = \frac{m \cdot \Delta S}{S},

$$ $$

\Delta m = \frac{m\cdot 2\pi x\cdot \Delta x}{\pi R^2} = \frac{2m}{R^2} \cdot x\cdot \Delta x.

$$ Элементарный момент инерции: $$

\Delta J = \Delta m \cdot x^2 = \frac{2m}{R^2}x^3 \Delta x.

$$ Полный момент инерции диска: $$

J = \sum\limits_{}^{} \Delta J = \frac{2m}{R^2} \sum\limits_{}^{} x^3 \Delta x = \frac{2m}{R^2} \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{mR^2}{2}.

$$

Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню. Введем систему координат с началом в точке $O$ в середине стержня (рис. [fig:theory_8]).

theory_fig8

Разобьем левую и правую части стержня на элементарные массы (материальные точки) $\Delta m$ такие, что $$\sum\limits_{}^{} \Delta m = m.

$$ Координаты $x$ элементных масс $x \in \left[ -\frac{l}{2}, \frac{l}{2} \right]$.

Элементарный момент инерции: $$

\Delta J = \Delta m \cdot x^2.

$$ Так как стержень однородный: $$

\frac{\Delta m}{m} = \frac{\Delta x}{l}.

$$ Отсюда $$

\Delta m = \frac{m}{l}\Delta x.

$$ Полный момент инерции стержня: $$

J = \sum\limits_{}^{} \Delta J = \sum\limits_{}^{} \Delta m \cdot x^2 = \frac{m}{l} \sum\limits_{}^{} x^2 \Delta x = \frac{m}{l} \cdot \frac{l^3}{12} = \frac{m l^2}{12}.

$$

Теорема Гюйгенса-Штейнера (о параллельных осях)

Если известен момент инерции $J_c$ абсолютно твердого тела массой $m$ относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции $J_0$ относительно любой параллельной оси, отстоящей от оси через центр масс на расстояние $d$, равен $$

J_0 = J_c + m\cdot d^2.

$$