семинар 5, сложность 2: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

Тело массой m , брошенное под углом к горизонту имеет в верхней точке траектории ускорение a=\frac{4g}{3} . Определить силу сопротивления воздуха в этой точке.

Решение

Заметим, что ускорение тела отлично от \vec{g} , так как мы учитываем сопротивление воздуха: \vec{F}_c = -k \vec{v}.

task1_fig1 Применим второй закон Ньютона: \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}. Определим модуль равнодействующей силы \left| \vec{F}_\Sigma \right| = m \cdot \left| \vec{a} \right|, В верхней точке скорость тела направлена горизонтально, сила сопротивления воздуха – тоже. Значит, угол между силой тяжести и силой сопротивления воздуха прямой (рис. [fig:task1_1]). По теореме Пифагора: \left( mg \right) ^2 + F_c^2 = \left( m \cdot \frac{4}{3}g \right) ^2. Отсюда получаем F_c = \sqrt{\left( mg \cdot \frac{4}{3} \right)^2 - \left( mg \right) ^2} = mg \sqrt{\frac{16}{9}-1} = \frac{mg}{3}\sqrt{7}. Ответ: F_c = \frac{\sqrt{7}}{3}mg

Задача 2

Условие

С вертолета, находившемся на большой высоте, сбросили теннисный мячик. Мячик долго падал вниз и после абсолютно упруго удара о наклонную плиту отскочил от плиты под углом 45^o к вертикали. Чему равен модуль ускорения мячика сразу после отскока?

task2_fig1 Решение

В процессе движения скорость мяча монотонно увеличивалась. В момент, когда сила сопротивления сравнялась (по модулю) с силой тяжести, дальнейшее изменение скорости стало невозможным. Значит, непосредственно перед падением на наклонную плоскость скорость мяча была направлена вертикально вниз, а сила тяжести уравновешивала силу сопротивления воздуха (рис. [fig:task2_2]).

task2_fig2 Итак, при падении с большой высоты \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{0}. Непосредственно перед ударом F_c = mg. Сразу после удара направление скорости мяча изменилось. Значит, направление силы сопротивления тоже изменилось (рис. [fig:task2_3]). Модуль силы сопротивления остался прежним, так как модуль скорости при абсолютно упругом ударе не меняется.

task2_fig3 Таким образом, сразу после удара \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}. Модуль ускорения \left| \vec{a} \right| = \frac{\left| \vec{F}_\Sigma \right| }{m}. Найдем равнодействующую сил, воспользовавшись теоремой косинусов: \begin{aligned}

\left| \vec{F}_\Sigma \right| = \sqrt{\left( mg \right) ^2 + F_c^2 + 2mg \cdot F_c \cdot \cos \left( 180^o-\alpha \right) } = \nonumber\\

=\sqrt{\left( mg \right) ^2 \cdot 2 + 2 \left( mg \right) ^2 \cdot \left( -\cos \alpha \right) } = mg \sqrt{2 \left( 1-\cos \alpha \right)}, \nonumber

\end{aligned} \left| \vec{F}_\Sigma \right| = mg \sqrt{2 \left( 1- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)} = mg \sqrt{2 - \sqrt{2}}. Таким образом, \left| \vec{a} \right| = g \sqrt{2-\sqrt{2}} . Ответ: g \sqrt{2-\sqrt{2}}

Теория: Движение тела под действием силы тяжести с учетом сопротивления воздуха

Движение тела, брошенного под углом \alpha к горизонту с начальной скоростью v_0 , под действием только силы тяжести в однородном поле тяжести - свободное падение, является видом равноускоренного движения ( g = const , направлено вертикально вниз). Траектория представляет собой параболу. Уравнения движения в этом случае хорошо известны и сравнительно просты.

В реальных условиях на движущееся тело действует сила сопротивления воздуха. Эта сила направлена противоположно вектору мгновенной скорости тела. Сила сопротивления воздуха существенно изменяет траекторию по сравнению с параболой (рис. [fig:teor_1]).

teor_fig1 Применим второй закон Ньютона к такому виду движения: \vec{F}_\Sigma = m \vec{a}, m\vec{g} + \left( -k \cdot \vec{v} \right) = m\cdot \vec{a}. Спроецируем векторы на ось x : 0-k\cdot v_x = m\cdot a_x и ось y : -mg-k\cdot v_y = m\cdot a_y. Заметим, что мгновенное ускорение можно представить в виде следующего предела \vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\Big|_{\Delta t\to 0}. Значит, проекции ускорения имеют вид a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}\Big|_{\Delta t\to 0}, a_y = \frac{\Delta v_y}{\Delta t}\Big|_{\Delta t\to 0}. Скорость показывает быстроту изменения положения точки в пространстве: \vec{v} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\Big|_{\Delta t\to 0}. Значит, проекции скорости имеют вид v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t}\Big|_{\Delta t\to 0}, v_y = \frac{\Delta y}{\Delta t}\Big|_{\Delta t\to 0}. Таким образом, полученные ранее уравнения можно записать в виде \left\{

\begin{array}{lll}

-k\cdot \frac{\Delta x}{\Delta t} = m\cdot \frac{\Delta v_x}{\Delta t},\\

-mg - k \frac{\Delta y}{\Delta t} = m\cdot \frac{\Delta v_y}{\Delta t}.

\end{array}\right. Умножим каждое уравнение системы на \Delta t : \left\{

\begin{array}{lll}

-k\Delta x = m\cdot \Delta v_x,\\

-mg \Delta t - k \Delta y = m \cdot \Delta v_y.

\end{array}\right. Используя приведенные рассуждения, решим следующие три задачи.

Задача 3

Условие

Определите максимальную высоту подъема тела, брошенного под углом \alpha к горизонту, если известно, что этой максимальной высоты тело достигает на \tau секунд раньше, чем при отсутствии сопротивления воздуха. Считайте, что сила сопротивления \vec{F}= -k \vec{v} .

Решение

Заметим, что в верхней точке траектории скорость тела направлена горизонтально (рис. [fig:task3_1]). Значит, v_y = 0 .

task3_fig1 В случае свободного падения время подъема до максимальной высоты t_1 = \frac{v_0 \sin \alpha }{g}. Определим время подъема до верхней точки в случае баллистической траектории. Для этого воспользуемся вторым уравнением системы: -mg \Delta t - k\Delta y = m \Delta v_y. Заметим, что \Sigma \Delta t = t_2, \Sigma \Delta y = h_{max}, \Sigma \Delta v_y = v_{y кон} - v_{y 0} = 0 - v_0 \sin \alpha. Таким образом, получаем уравнение -mg \cdot t_2 - k h_{max} = m \cdot \left( -v_0 \sin\alpha \right). Воспользуемся тем, что t_2-t_1=\tau по условию: t_2-t_1 = \tau = \frac{v_0 \sin\alpha }{g} - \frac{m v_0 \sin\alpha }{mg} - \left( - \frac{kh_{max}}{mg} \right) = \frac{k h_{max}}{mg}. Ответ: h_{max} = \frac{mg \tau }{k} .

Задача 4

Условие

Из пушки выпущен снаряд с начальной скоростью v_0 под углом \alpha к горизонту. В процессе полёта на снаряд действует сила сопротивления \vec{F}=-k \vec{v} , где k>0 и не зависит от скорости. К моменту достижения высшей точки траектории горизонтальное смещение снаряда равно S_x . Найдите радиус R кривизны траектории в её верхней точке.

Решение

Ранее мы рассмотрели движение по баллистической траектории в общем случае и получили систему уравнений \left\{

\begin{array}{lll}

-k \Delta x = m \Delta v_x,\\

-mg \Delta t - k \Delta y = m \Delta v_y.

\end{array}\right. Воспользуемся первым уравнением этой системы. Заметим, что \sum\limits_{}^{} \Delta x = S_x, \sum\limits_{}^{} \Delta v_x = v-v_0 \cos \alpha . Таким образом, получаем -k S_x = m \left( v-v_0 \cos \alpha \right), v = - \frac{kS_x}{m} + v_0 \cos \alpha < v_{0x}. Требуется найти радиус кривизны траектории. Фактически речь идет об описании движения по элементарной дуге окружности в области верхней точки траектории с центростремительным ускорением a_n = \frac{v^2}{R}. Отсюда получаем радиус кривизны R = \frac{v^2}{a_n}.

Отметим, что проекция полного ускорения на ось y равно ускорению свободного падения: a_n = g (рис. [fig:task4_1]).

task4_fig1 Таким образом, R = \frac{\left( v_0\cos \alpha - \frac{kS_x}{m} \right)^2}{g}.

Задача 5

Условие

Мяч, брошенный с горизонтальной поверхности под углом \alpha = 60^o к горизонту со скоростью v_0 = 10 \frac{м}{c} , упал на эту поверхность, имея вертикальную составляющую скорости по абсолютной величине на 27% меньшую, чем при бросании. Найдите время полета мяча. Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости мяча.

Решение

Ранее мы рассмотрели движение по баллистической траектории в общем случае и получили систему уравнений \left\{

\begin{array}{lll}

-k \Delta x = m \Delta v_x,\\

-mg \Delta t - k \Delta y = m \Delta v_y.

\end{array}\right. Воспользуемся вторым уравнением этой системы. Заметим, что \sum\limits_{}^{} \Delta t = t_n, \sum\limits_{}^{} \Delta y = \Delta h = 0, \sum\limits_{}^{} \Delta v_y = v_{кон y} - v_{0y}. Нам известно, что модуль конечной скорости уменьшился на 27% : \Delta \left| v_y \right| = -0,27 \left| v_{0y} \right|. Значит, \left| v_y \right| = 0,73 \left| v_{0y} \right| = 0,73 v_0 \sin\alpha , v_y = -0,73 v_0\sin\alpha . Таким образом, \sum\limits_{}^{} \Delta v_y = v_{кон y} - v_{0y}= -1.73 v_0 \sin \alpha . Тогда второе уравнение системы приведем к виду mg\cdot t_{n} + k\cdot 0 = m\cdot \left( 1,73 v_0 \sin\alpha \right). Отсюда получаем t_n = \frac{1,73 v_0 \sin\alpha }{g} = \frac{1,73 \cdot 10 \frac{м}{c}\cdot \sqrt{3}}{10 \frac{м}{c^2}\cdot 2} \approx 1,5\ c. Ответ: 1,5\ c