семинар 6, сложность 2: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

Тонкая $U$-образная трубка, размеры которой указаны на рисунке [fig:task1_1], заполнена ртутью до высоты $L$ вертикальных частей трубки. Её начинают двигать горизонтально с ускорением $a$. При каком максимальном значении $a$ ртуть ещё не будет выливаться из трубки? Ускорение свободного падения $g = 10\frac{м}{см^2}$.

task1_fig1

Решение

В предельном случае ртуть полностью заполнит левое колено (рис. [fig:task1_2]). Как только ускорение перейдет это предельное значение, ртуть начнет выливаться. Так как площадь сечения одинакова по всей длине трубки, общий объем ртути составляет $11/27$ долей всего объема трубки. Значит, в предельном случае ртуть занимает левое колено на $9/27$ долей общего объема, и нижнюю часть трубки – на $2/27$ доли.

task1_fig2

Применим второй закон Ньютона к горизонтальному объему ртути (рис. [fig:task1_3]): $$

\vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}

$$ $$

\vec{F}_{g.1} + \vec{F}_{g.2} = m \cdot \vec{a}.

$$

task1_fig3

Вычислим силы давления на концы выделенного объема ртути. На правый конец действует сила давления со стороны воздуха $$

F_{g.1} = p_0\cdot S,

$$ на левую часть – со стороны столба ртути и атмосферы: $$

F_{g.2} = \left( \rho g \cdot 9L +p_0 \right) \cdot S.

$$ Масса ртути в выделенном объеме: $$

m = \rho \cdot S \cdot 2L.

$$ Тогда второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось принимает вид $$

-F_{g.1} + F_{g.2} = ma,

$$ $$

F_{g.2} - F_{g.1} = ma,

$$ Подставим выражения для сил и массы, преобразуем и упростим: $$

\left( \rho g \cdot 9L +p_0 \right) S - p_0S = \rho S\cdot 2L\cdot a,

$$ $$

9\rho gL S = 2\rho a SL,

$$ $$

9g = 2a,

$$ Найдем величину ускорения: $$

a = 4,5g,

$$ $$

a = 45 \frac{м}{c^2}.

$$ Ответ: $45 \frac{м}{c^2}$.

Задача 2

Условие

Стеклянный шар объёмом $V$ и плотностью $\rho_0$ находится в сосуде с водой. Угол между стенкой сосуда и горизонтальным дном равен $\alpha $. Внутренняя поверхность сосуда гладкая. Плотность воды $\rho $. Найти силу давления шара на дно, если сосуд движется с постоянным горизонтальным ускорением $a$.

task2_fig1

Решение

Будем решать задачу в ИСО, связанной с Землей.

Расставим силы, действующие на шар (рис. [fig:task2_2]).

task2_fig2

Применим второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек, так как тела движутся поступательно: $$

\vec{F}_\Sigma = m \cdot \vec{a}.

$$ $$

m \vec{g} + \vec{F}_{арх} + \vec{N}_1 + \vec{N}_2 = m\cdot \vec{a}.

$$ По третьему закону Ньютона $$

F_{давл. на дно} = N_2.

$$ Вычислим проекции векторов на ось $x$: $$

0 + \left( F_{арх} \right)_x + N_1\cdot \sin\alpha + 0=ma

$$ и ось $y$: $$

-mg + \left( F_{арх} \right)_y - N_1 \cdot \cos\alpha + N_2 = m\cdot 0.

$$ Проекций силы Архимеда: $$

\left( F_{арх} \right)_x = \rho \cdot a\cdot V,

$$ $$

\left( F_{арх} \right)_y = \rho \cdot g\cdot V.

$$ Масса шара: $$

m = \rho_0\cdot V.

$$ Подставим полученные выражения значения в систему уравнений: $$

\left\{

\begin{array}{lll}

N_1\cdot \sin\alpha + \rho aV = \rho_0 V a,\\

N_2 - N_1 \cos \alpha + \rho gV - \rho_0 Vg = 0,

\end{array}\right.

$$ Упростим и решим систему: $$

\left\{

\begin{array}{lll}

N_1\cdot \sin\alpha = \left( \rho_0-\rho \right) a\cdot V,\\

N_1 \cdot \cos \alpha = N_2- \left( \rho_0-\rho \right) \cdot g\cdot V.

\end{array}\right.

$$ Разделим второе уравнение системы на первое: $$

\ctg \alpha = \frac{N_2-\left( \rho_0-\rho \right) gV}{\left( \rho_0-\rho \right) aV} = \frac{N_2}{\left( \rho_0-\rho \right) aV} - \frac{g}{a},

$$ $$

\frac{N_2}{\left( \rho_0-\rho \right) aV} = \ctg \alpha + \frac{g}{a},

$$ Найдем силу давления на дно: $$

N_2 = \left( \rho_0-\rho \right) aV \left( \ctg \alpha + \frac{g}{a} \right) = F_g.

$$ Ответ: $F_g = \left( \rho_0-\rho \right) aV \left( \ctg \alpha + \frac{g}{a} \right)$.

Задача 3

Условие

Изогнутая трубка состоит из одного горизонтального колена и двух вертикальных колен. Трубка укреплена на платформе, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси (см. рис. [fig:task3_1]). Вертикальные колена находятся на расстояниях $R$ и $3R$ от оси вращения. Установившаяся разность уровней (по высоте) налитой в трубку жидкости в вертикальных коленах равна $H$. Найдите угловую скорость вращения платформы. Диаметр трубки значительно меньше её длины.

task3_fig1

Решение

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Жидкость покоится относительно вращающейся трубки и платформы. Свободная поверхность жидкости в каждом колене принимает форму параболоида вращения.

Введем обозначения: $h$ – высота столба жидкости в левом колене, $H+h$ – высота столба жидкости в правом колене (рис. [fig:task3_2]).

task3_fig2

Рассмотрим элемент жидкости, заполняющий горизонтальную часть трубки между основаниями колен. Этот элемент движется вместе с трубкой по окружности. Применим теорему о движении центра масс $$

\vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}

$$ (второй закон Ньютона к движению центра масс выделенного элемента).

Рассмотрим силы, действующие на выделенный элемент (рис. [fig:task3_3]). На выделенный элемент жидкости в горизонтальной части действуют силы давления со стороны жидкости в левом $F_{g 1}$ и правом $F_{g 2}$ коленах.

task3_fig3

Центростремительное ускорение центра масс: $$

a_{ц.с.} = \omega ^2\cdot 2R.

$$ Давления левого и правого колен жидкости: $$

p_1 = \rho gh+p_0,

$$ $$

p_2 = \rho g \left( h+H \right) + p_0.

$$ Силы давления соответственно: $$

F_{g1} = p_1\cdot S = \left( \rho gh+p_0 \right) S,

$$ $$

F_{g2} = p_2\cdot S = \left( \rho gh + \rho gH + p_0 \right) \cdot S.

$$ Действуя совместно, силы давления сообщают центру масс выделенного элемента жидкости центростремительное ускорение $a_{ц.с.}$: $$

\vec{F}_{g1}+\vec{F}_{g 2} = m\cdot \vec{a}_{ц.с.}.

$$ В проекции на горизонтальную ось: $$

-F_{g 1} + F_{g 2} = m\cdot a_{ц.с.}.

$$ Масса элемента жидкости $$

m = \rho \cdot V = \rho \cdot 2R\cdot S.

$$ Тогда $$

\left( \rho gh+\rho gH + p_0 \right) S - \left( \rho gh+p_0 \right) S = 2\rho SR \cdot \omega ^2\cdot 2R,

$$ Упростим выражение $$

\rho gHS = 4 \rho SR^2 \omega ^2,

$$ $$

gH = 4R^2 \omega ^2,

$$ и решим уравнение относительно искомой величины $$

\omega ^2 = \frac{gH}{4R^2},

$$ $$

\omega = \frac{\sqrt{gH}}{2R}.

$$ Ответ: $\omega = \frac{\sqrt{gH}}{2R}$.