семинар 6, сложность 2

Задача 1 Условие Тонкая $U$-образная трубка, размеры которой указаны на рисунке [fig:task1_1] , заполнена ртутью до высоты $L$ вертикальных частей трубки. Её начинают двигать горизонтально с ускорением $a$. При каком максимальном значении $a$ ртуть ещё не будет выливаться из трубки? Ускорение свободного падения $g = 10\frac{м}{см^2}$. Решение В предельном случае ртуть полностью заполнит левое колено (рис. [fig:task1_2] ). Как только ускорение перейдет это предельное значение, ртуть начнет выливаться. Так как площадь сечения одинакова по всей длине трубки, общий объем ртути составляет $11/27$ долей всего объема трубки. Значит, в предельном случае ртуть занимает левое колено на $9/27$ долей общего объема, и нижнюю часть трубки – на $2/27$ доли. Применим второй закон Ньютона к горизонтальному объему ртути (рис. [fig:task1_3] ): $$ \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a} $$ $$ \vec{F}_{g.1} + \vec{F}_{g.2} = m \cdot \vec{a}. $$ Вычислим силы давления на концы выделенного объема ртути. На правый конец действует сила давления со стороны воздуха $$ F_{g.1} = p_0\cdot S, $$ на левую часть – со стороны столба ртути и атмосферы: $$ F_{g.2} = \left( \rho g \cdot 9L +p_0 \right) \cdot S. $$ Масса ртути в выделенном объеме: $$ m = \rho \cdot S \cdot 2L. $$ Тогда второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось принимает вид $$ -F_{g.1} + F_{g.2} = ma, $$ $$ F_{g.2} - F_{g.1} = ma, $$ Подставим выражения для сил и массы, преобразуем и упростим: $$ \left( \rho g \cdot 9L +p_0 \right) S - p_0S = \rho S\cdot 2L\cdot a, $$ $$ 9\rho gL S = 2\rho a SL, $$ $$ 9g = 2a, $$ Найдем величину ускорения: $$ a = 4,5g, $$ $$ a = 45 \frac{м}{c^2}. $$ Ответ: $45 \frac{м}{c^2}$. Задача 2 Условие Стеклянный шар объёмом $V$ и плотностью $\rho_0$ находится в сосуде с водой. Угол между стенкой сосуда и горизонтальным дном равен $\alpha $. Внутренняя поверхность сосуда гладкая. Плотность воды $\rho $. Найти силу давления шара на дно, если сосуд движется с постоянным горизонтальным ускорением $a$. Решение Будем решать задачу в ИСО, связанной с Землей. Расставим силы, действующие на шар (рис. [fig:task2_2] ). Применим второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек, так как тела движутся поступательно: $$ \vec{F}_\Sigma = m \cdot \vec{a}. $$ $$ m \vec{g} + \vec{F}_{арх} + \vec{N}_1 + \vec{N}_2 = m\cdot \vec{a}. $$ По третьему закону Ньютона $$ F_{давл. на дно} = N_2. $$ Вычислим проекции векторов на ось $x$: $$ 0 + \left( F_{арх} \right)_x + N_1\cdot \sin\alpha + 0=ma $$ и ось $y$: $$ -mg + \left( F_{арх} \right)_y - N_1 \cdot \cos\alpha + N_2 = m\cdot 0. $$ Проекций силы Архимеда: $$ \left( F_{арх} \right)_x = \rho \cdot a\cdot V, $$ $$ \left( F_{арх} \right)_y = \rho \cdot g\cdot V. $$ Масса шара: $$ m = \rho_0\cdot V. $$ Подставим полученные выражения значения в систему уравнений: $$ \left\{ \begin{array}{lll} N_1\cdot \sin\alpha + \rho aV = \rho_0 V a,\\ N_2 - N_1 \cos \alpha + \rho gV - \rho_0 Vg = 0, \end{array}\right. $$ Упростим и решим систему: $$ \left\{ \begin{array}{lll} N_1\cdot \sin\alpha = \left( \rho_0-\rho \right) a\cdot V,\\ N_1 \cdot \cos \alpha = N_2- \left( \rho_0-\rho \right) \cdot g\cdot V. \end{array}\right. $$ Разделим второе уравнение системы на первое: $$ \ctg \alpha = \frac{N_2-\left( \rho_0-\rho \right) gV}{\left( \rho_0-\rho \right) aV} = \frac{N_2}{\left( \rho_0-\rho \right) aV} - \frac{g}{a}, $$ $$ \frac{N_2}{\left( \rho_0-\rho \right) aV} = \ctg \alpha + \frac{g}{a}, $$ Найдем силу давления на дно: $$ N_2 = \left( \rho_0-\rho \right) aV \left( \ctg \alpha + \frac{g}{a} \right) = F_g. $$ Ответ: $F_g = \left( \rho_0-\rho \right) aV \left( \ctg \alpha + \frac{g}{a} \right)$. Задача 3 Условие Изогнутая трубка состоит из одного горизонтального колена и двух вертикальных колен. Трубка укреплена на платформе, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси (см. рис. [fig:task3_1] ). Вертикальные колена находятся на расстояниях $R$ и $3R$ от оси вращения. Установившаяся разность уровней (по высоте) налитой в трубку жидкости в вертикальных коленах равна $H$. Найдите угловую скорость вращения платформы. Диаметр трубки значительно меньше её длины. Решение Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Жидкость покоится относительно вращающейся трубки и платформы. Свободная поверхность жидкости в каждом колене принимает форму параболоида вращения. Введем обозначения: $h$ – высота столба жидкости в левом колене, $H+h$ – высота столба жидкости в правом колене (рис. [fig:task3_2] ). Рассмотрим элемент жидкости, заполняющий горизонтальную часть трубки между основаниями колен. Этот элемент движется вместе с трубкой по окружности. Применим теорему о движении центра масс $$ \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a} $$ (второй закон Ньютона к движению центра масс выделенного элемента). Рассмотрим силы, действующие на выделенный элемент (рис. [fig:task3_3] ). На выделенный элемент жидкости в горизонтальной части действуют силы давления со стороны жидкости в левом $F_{g 1}$ и правом $F_{g 2}...