семинар 0, сложность 2: Часть 1

Видео

Конспект

Движение в неинерциальных системах отсчета

Второй закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчета, где ускорение тел пропорционально равнодействующей всех действующих на него сил. Критерием инерциальности служит первый закон Ньютона: если равнодействующая сил, приложенных к свободному телу, равна нулю, то тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Если в данной системе отсчета свободное тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, то система отсчета инерциальна.

Признаки неинерциальной системы отсчета: тело, на которое не действуют силы (или силы скомпенсированы), движется с ускорением относительно этой СО. Приведем примеры.

Пример 1. Шар, лежащий на полу вагона.

Когда поезд резко тронется от остановки, шар приобретет скорость (будет двигаться ускоренно) в направлении, противоположном направлению движения поезда, хотя силы, действующие на шар, скомпенсированы.

Покажем это. Сначала рассмотрим случай, кода шар покоится на платформе (рис. [fig:4]). В этом случае силы, действующие на него, уравновешивают друг друга.

4 Однако, если тележку толкнуть, и она начнет двигаться с ускорением \vec{a}_0 относительно Земли (инерциальной системы отсчета), мяч покатится назад относительно тележки без действия какой-либо реальной горизонтальной силы (рис. [fig:5]). Значит, тележка — неинерциальная СО.

5

Пример 2. Груз на подвесе (рис. [fig:6]).

6 Пара сил, действующих на груз, не лежит на одной прямой и не может уравновешивать друг друга. Однако, груз находится в покое относительно тележки. Значит, тележка – неинерциальная система отсчета.

Пример 3. Вращающаяся платформа (рис. [fig:7]).

Груз на нити подвешенна на штанге над платформой, вращающейся с угловой скоростью \omega вокруг вертикальной оси. Относительно платформы груз покоится. Однако силы, действующие на него (сила тяжести и сила натяжения нити), не направлены вдоль одной прямой и их равнодействующая не равна нулю (она сообщает грузу центростремительное ускорение в инерциальной системе). Таким образом, система, связанная с землей – инерциальная, а система, связанная с платформой — неинерциальная.

7 В случае неинерциальных СО второй закон Ньютона, сформулированный для инерциальных систем, применять нельзя. Напомним, что второй закон Ньютона имеет вид \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}_{абс}, где \vec{a}_{абс} – абсолютное ускорение относительно инерциальной системы отсчета.

Абсолютное ускорение можно представить в виде суммы относительного и переносного ускорений: \vec{a}_{абс} = \vec{a}_{отн} + \vec{a}_пер. Для инерциальных СО переносное ускорение всегда равно нулю.

Преобразуем второй закон Ньютона, учитывая сказанное:

\vec{F}_\Sigma = m\cdot \left( \vec{a}_{отн}+\vec{a}_{пер} \right), \vec{F}_\Sigma - m \cdot \vec{a}_{пер} = m\cdot \vec{a}_{отн}. Введем обозначение \vec{F}_u = -m \cdot \vec{a}_{пер} Сила инерции – псевдосила (квазисила), равная произведению массы тела и переносного ускорения системы отсчета, взятого с противоположным знаком. Она направлена противоположно переносному ускорению. Эта сила не является результатом действия окружающих тел и полей и вводится для применения законов Ньютона в ускоренно движущихся системах отсчета.

Обозначим равнодействующую реальных сил и квазисилы инерции через \vec{\Phi} _\Sigma : \vec{\Phi}_\Sigma = m\cdot \vec{a}_{отн}. Полученное уравнение справедливо как для инерциальных, так и для неинерциальных СО.

Задача 1

Условие

Найти угол, на который отклонится нить с шариком, при движении тележки с ускорением a_0 .

Решение

Перейдем в неинерциальную систему отсчета, связанную с тележкой. Ускорение этой системы относительно ИСО, связанной с Землей, \vec{a}_0 (рис. [fig:8]). Сила инерции: \vec{F}_u = -m \cdot \vec{a}_0.

8 Тогда равнодействующая сил имеет вид \vec{\Phi}_\Sigma = m \vec{g} + \vec{T} + \vec{F}_u = \vec{0}. Проекция на ось Oz : mg \cdot \cos \left( 90^o-\alpha \right) +0-m a_0\cdot \cos\alpha =0. Упростим выражение: mg \sin\alpha - ma_0\cos \alpha = 0, \tg \alpha = \frac{a_0}{g}. Таким образом, Если ко всем действующим силам, приложенным к движущемуся телу или системе тел, приложить силы инерции, то полученную систему сил можно рассматривать как находящуюся в равновесии (принцип Даламбера). Такой прием решения задач динамики носит название метода кинетостатики.

Заметим, что данный результат можно получить и другим способом. Очевидно, сумма силы тяжести и силы инерции направлено вдоль силы натяжения нити (рис. [fig:9]).

9 Отсюда следует, что результирующую сил можно рассматривать как произведение массы на некоторое эффективное ускорение \vec{g}^* : m \left( \vec{g} + \left( -\vec{a}_0 \right) \right) = m \cdot \vec{g}^*, \vec{g}^* = \vec{g} - \vec{a}_0. Задача 2

Условие

Найти угол \alpha , на который отклоняется шарик при вращении платформы с угловой скоростью \omega .

Решение

В инерциальной системе отсчета ускорение направлено к оси поворота. Значит, сила инерции в НИСО, связанной с тележкой, направлена в противоположную сторону (рис. [fig:10]), так как \vec{F}_u = -m\cdot \vec{a}_0.

10 Здесь a_0 = \omega ^2 \cdot r = \omega ^2\cdot l\cdot \sin \alpha. Введем эффективное ускорение \vec{g}^* = \vec{g}-\vec{a}_0. Тогда \tg \alpha = \frac{a_0}{g}= \frac{\omega ^2 l \sin \alpha }{g}. Отсюда получаем \frac{g}{\cos \alpha } = \omega ^2 l, \cos \alpha = \frac{g}{\omega ^2 l}.

Задача 3

Условие

К потолку лифта, поднимающегося с ускорением a_0 вверх, прикреплен динамометр. К динамометру подвешен неподвижный блок, через блок перекинута нить, к концам которой подвешены грузы массами m_1 > m_2 . Определить показания динамометра (вес конструкции).

Решение

Перейдем в неинерциальную СО, связанную с лифтом. Тогда ко всем действующим силам, приложенным к движущимся грузам, необходимо добавить силы инерции (рис. [fig:11]).

11 В НИСО, связанной с лифтом, величины относительных ускорений грузов одинаковы (нить нерастяжима): \left| a_{1 отн} \right| = \left| a_{2 отн} \right|. Пусть m_2>m_1 . Тогда относительное ускорение второго груза направлено вниз, а относительное ускорение первого груза – вверх. Применим второй закон Ньютона для неинерциальных систем отсчета к каждому грузу: \vec{\Phi}_{\Sigma 1} = m_1 \cdot \vec{a}_{1 отн}, \vec{\Phi}_{\Sigma 2} = m_2 \cdot \vec{a}_{2 отн}, \left\{

\begin{array}{lll}

m_1 \vec{g} + \vec{T} - m_1 \vec{a}_0 = m_1 \cdot \vec{a}_{1 отн},\\

m_2 \vec{g} + \vec{T} - m_2 \vec{a}_0 = m_2 \cdot \vec{a}_{2 отн}.

\end{array}\right. Спроецируем векторы из первого и второго уравнений на ось y (рис. [fig:12]): \left\{

\begin{array}{lll}

-m_1g + T-m_1a_0 = m_1\cdot a_{отн},\\

-m_2g + T-m_2a_0 = -m_2\cdot a_{отн}.

\end{array}\right.

12 Вычтем второе уравнение из первого: \left( m_2-m_1 \right) g+\left( m_2-m_1 \right) a_0 = \left( m_1+m_2 \right) a_{отн}. Отсюда получаем a_{отн} = \frac{\left( m_2-m_1 \right) \left( g+a_0 \right) }{m_1+m_2}.

Показания динамометра равны весу блока. На блок действуют сила натяжения нити и сила упругости пружины динамометра (рис. [fig:13]): F_{упр}=2T .

13 Сила натяжения нити: T = m_1\left( a_{отн}+a_0+g \right) = m_1\left( a_0+g \right) + \frac{m_1\left( a_0+g \right) \left( m_2-m_1 \right) }{m_1+m_2} = \frac{2\left( g+a_0 \right) \left( m_1m_2 \right) }{m_1+m_2}. Тогда, F_{упр} = 2T = \frac{4m_1m_2\left( g+a_0 \right) }{m_1+m_2}. Ответ: P = \frac{4m_1m_2\left( g+a_0 \right) }{m_1+m_2}