семинар 8, сложность 2: Часть 3
Физика, 9 класс
Задача 1 Условие Найти ускорение оси цилиндра, угловое ускорение цилиндра, наибольшую величину силы $F$, при которой цилиндр движется без проскальзывания. task1_fig1 Решение Будем решать задачу в инер...
Видео
Конспект
Задача 1
Условие
Найти ускорение оси цилиндра, угловое ускорение цилиндра, наибольшую величину силы $F$, при которой цилиндр движется без проскальзывания.
task1_fig1
Решение
Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Цилиндр будем считать абсолютно твердым телом.
Наиболее удобным оказывается такой способ описания плоского движения, при котором качение колеса рассматривается как сложение его поступательного движения и вращения относительно центра масс колеса. То же самое имеет место и при произвольном плоском движении.
Для описания плоского движения достаточно записать уравнение движения его центра масс и уравнение для вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс: $$
\vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}_\tau,
$$ $$
\vec{M} = J \cdot \vec{\beta} .
$$ Первое уравнение описывает поступательное движение центра масс тела. Второе уравнение описывает вращательное движение абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси.
Расставим силы, действующие на цилиндр (рис. [fig:task1_2]).
task1_fig2
Уравнение динамики движения центра масс: $$
\vec{F}+ m \vec{g}+\vec{N}+\vec{F}_{тр.п.}=m\cdot \vec{a}_c.
$$ Уравнение моментов относительно оси, проходящей через точку $O$: $$
F\cdot R = \beta \cdot J_0.
$$ Отсюда получаем выражение для углового ускорения: $$
\beta = \frac{FR}{J_0}.
$$ Центральные моменты инерции для обруча и диска: $$
J_c=
\left[
\begin{array}{lll}
mR^2,\\
\frac{mR^2}{2}
\end{array}\right.
$$
Воспользуемся теоремой Гюйгенса-Штейнера о параллельном переносе оси $$
J_0 = J_c + mR^2.
$$ Отсюда получаем $$
J_0 =
\left[
\begin{array}{lll}
2mR^2,\\
\frac{3}{2}mR^2,
\end{array}\right.
$$ $$
\fontsize{12}{14}\selectfont{
\beta =
\left[
\begin{array}{lll}
\frac{FR}{2mR^2} = \frac{F}{2mR} \ для обруча,\\
\\
\frac{FR}{\frac{3}{2}mR^2}=\frac{2F}{3mR}\ для диска.
\end{array}\right.
}
$$ Связь между линейными и угловыми величинами: $$
a_\tau = \beta \cdot r.
$$ Мгновенный центр вращения находится в точке $O$, угловое ускорение всех точек цилиндра одинаково, $\vec{a}_c$ направлено перпендикулярно $OC$, поэтому $$
a_c = \beta \cdot R,
$$ $$\fontsize{12}{14}\selectfont{
a_c =
\left[
\begin{array}{lll}
\frac{F}{2m}\ для обруча,\\
\\
\frac{2F}{3m} \ для диска.
\end{array}\right.
}
$$ Найдем величину силы $F$, при которой сила трения покоя сменится на силу трения скольжения: $$
F_{тр} =
\left[
\begin{array}{lll}
F_{тр.п.} \leqslant F_{тр.ск.},\\
F_{тр.ск.} = \mu N.
\end{array}\right.
$$ Проекции сил на горизонтальную и вертикальную оси: $$
F - F_{тр.п.} = m\cdot a_c,
$$ $$
-mg + N = 0.
$$ Отсюда получаем $$
F_{тр.п.} = F-m\cdot a_c =
\left[
\begin{array}{lll}
F-\frac{F}{2m}\cdot m = \frac{F}{2},\\
\\
F-\frac{2F}{3m}\cdot m = \frac{F}{3}.
\end{array}\right.
$$ По закону Кулона-Амонтона $$
F_{тр.п.max} = \mu N = \mu mg =
\left[
\begin{array}{lll}
\frac{F_{max}}{2},\\
\frac{F_{max}}{3}.
\end{array}\right.
$$ Отсюда получаем $$
F_{max} =
\left[
\begin{array}{lll}
2\mu mg,\\
3\mu mg.
\end{array}\right.
$$