семинар 8, сложность 2

Задача 1 Условие Найти ускорение оси цилиндра, угловое ускорение цилиндра, наибольшую величину силы $F$, при которой цилиндр движется без проскальзывания. Решение Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Цилиндр будем считать абсолютно твердым телом. Наиболее удобным оказывается такой способ описания плоского движения, при котором качение колеса рассматривается как сложение его поступательного движения и вращения относительно центра масс колеса. То же самое имеет место и при произвольном плоском движении. Для описания плоского движения достаточно записать уравнение движения его центра масс и уравнение для вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс: $$ \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}_\tau, $$ $$ \vec{M} = J \cdot \vec{\beta} . $$ Первое уравнение описывает поступательное движение центра масс тела. Второе уравнение описывает вращательное движение абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси. Расставим силы, действующие на цилиндр (рис. [fig:task1_2] ). Уравнение динамики движения центра масс: $$ \vec{F}+ m \vec{g}+\vec{N}+\vec{F}_{тр.п.}=m\cdot \vec{a}_c. $$ Уравнение моментов относительно оси, проходящей через точку $O$: $$ F\cdot R = \beta \cdot J_0. $$ Отсюда получаем выражение для углового ускорения: $$ \beta = \frac{FR}{J_0}. $$ Центральные моменты инерции для обруча и диска: $$ J_c= \left[ \begin{array}{lll} mR^2,\\ \frac{mR^2}{2} \end{array}\right. $$ Воспользуемся теоремой Гюйгенса-Штейнера о параллельном переносе оси $$ J_0 = J_c + mR^2. $$ Отсюда получаем $$ J_0 = \left[ \begin{array}{lll} 2mR^2,\\ \frac{3}{2}mR^2, \end{array}\right. $$ $$ \fontsize{12}{14}\selectfont{ \beta = \left[ \begin{array}{lll} \frac{FR}{2mR^2} = \frac{F}{2mR} \ для обруча,\\ \\ \frac{FR}{\frac{3}{2}mR^2}=\frac{2F}{3mR}\ для диска. \end{array}\right. } $$ Связь между линейными и угловыми величинами: $$ a_\tau = \beta \cdot r. $$ Мгновенный центр вращения находится в точке $O$, угловое ускорение всех точек цилиндра одинаково, $\vec{a}_c$ направлено перпендикулярно $OC$, поэтому $$ a_c = \beta \cdot R, $$ $$\fontsize{12}{14}\selectfont{ a_c = \left[ \begin{array}{lll} \frac{F}{2m}\ для обруча,\\ \\ \frac{2F}{3m} \ для диска. \end{array}\right. } $$ Найдем величину силы $F$, при которой сила трения покоя сменится на силу трения скольжения: $$ F_{тр} = \left[ \begin{array}{lll} F_{тр.п.} \leqslant F_{тр.ск.},\\ F_{тр.ск.} = \mu N. \end{array}\right. $$ Проекции сил на горизонтальную и вертикальную оси: $$ F - F_{тр.п.} = m\cdot a_c, $$ $$ -mg + N = 0. $$ Отсюда получаем $$ F_{тр.п.} = F-m\cdot a_c = \left[ \begin{array}{lll} F-\frac{F}{2m}\cdot m = \frac{F}{2},\\ \\ F-\frac{2F}{3m}\cdot m = \frac{F}{3}. \end{array}\right. $$ По закону Кулона-Амонтона $$ F_{тр.п.max} = \mu N = \mu mg = \left[ \begin{array}{lll} \frac{F_{max}}{2},\\ \frac{F_{max}}{3}. \end{array}\right. $$ Отсюда получаем $$ F_{max} = \left[ \begin{array}{lll} 2\mu mg,\\ 3\mu mg. \end{array}\right. $$