семинар 2, сложность 2: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 3

Условие

Ящик прямоугольной формы с шаром удерживается на наклонной плоскости с углом наклона $\alpha =45^o$. Ящик опускают, и он начинает скользить. Во сколько раз уменьшится сила давления шара на переднюю стенку ящика? Внутренние поверхности ящика гладкие. Коэффициент трения скольжения ящика о наклонную плоскость $\mu =0,25$.

task3_fig1

Решение

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с землей. Ящик движется поступательно, поэтому мы можем применить второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек: $$

\vec{F}_{\Sigma } = m\cdot \vec{a}.

$$ Определим, с какой силой ящик давит на шар.

task3_fig2

В начале ящик и шар удерживают от соскальзывания. Значит, силы, действующие на шар, уравновешивают друг друга: $$

\vec{F}_\Sigma = \vec{0},

$$ $$

m \vec{g}+\vec{N}+\vec{N}_1 = \vec{0}.

$$ По третьему закону Ньютона, сила реакция опоры $N_1$ равна силе, с которой шар давит на переднюю стенку: $$

N_1 = P_1.

$$ Найдем силу реакции опоры, начертив треугольник сил.

task3_fig3

Отсюда получаем $$

N_1 = mg\sin\alpha.

$$ Требуется сравнить полученное выражение с силой давления шара на переднюю стенку ящика при совместном проскальзывании. Найдем ускорение всей системы, состоящей из ящика и шара.

task3_fig4

Применим второй закон Ньютона для системы из шара и ящика: $$

\vec{F}_\Sigma = \left( M+m \right) \cdot \vec{a},

$$ $$

\left( M+m \right) \vec{g} + \vec{F}_{тр.ск.} + \vec{N}^* = \left( M+m \right) \vec{a}.

$$ Спроецируем векторы на оси $x$ и $y$: $$

\left( M+m \right) g \sin\alpha - F_{тр.ск.} + 0 = \left( M+m \right) a.

$$ $$

-\left( M+m \right) g \cos\alpha + 0 +N^* = \left( M+m \right) \cdot 0

$$ Отсюда получаем $$

N^* = \left( M+m \right) g \cos\alpha,

$$ $$

F_{тр.ск.} = \mu N^*,

$$ $$

\left( m+M \right) a = \left( M+m \right) g \sin\alpha - \mu \left( M+m \right) g \cos\alpha.

$$ В результате получаем выражение для ускорения: $$

a = g\left( \sin \alpha - \mu \cos \alpha \right) .

$$ С таким ускорением движется как ящик, так и шар. Значит, теперь мы можем рассмотреть движение шара независимо от ящика. Расставим силы, действующие на шар при соскальзывании.

task3_fig5

Применим второй закон Ньютона для шара: $$

m \vec{g}+\vec{N}_2 + \vec{N}^* = m\cdot \vec{a}

$$ и спроецируем векторы на ось $x$: $$

mg \sin\alpha - N_2+0 = m\cdot a.

$$ Отсюда получаем выражение для $N_2$: $$

N_2 = mg\sin\alpha -ma = mg\sin\alpha - mg \left( \sin \alpha -\mu \cos\alpha \right) = \mu mg\cos\alpha.

$$ По третьему закону Ньютона $$

N_2 = P_2.

$$ Таким образом, $$

\frac{P_1}{P_2} = \frac{mg\sin\alpha }{\mu mg\cos\alpha } = \frac{\tg\alpha }{\mu },

$$ $$

\frac{P_1}{P_2} = \frac{\tg 45^o}{0,25} = 4.

$$ Значит, когда шар вместе с ящиком покоятся, сила давления шара на переднюю стенку ящика в четыре раза больше, чем при совместном соскальзывании вдоль наклонной плоскости.

Ответ: 4.

Задача 4

Условие

Три бруска, массы которых $5m$, $3m$, и $m$, лежат на горизонтальном столе. На средний брусок действует горизонтальная сила $F$. Коэффициент трения между нижним бруском и столом $\mu $, между средним и нижним – $2\mu $, между верхним и средним – $4\mu $. Нарисовать график зависимости:

ускорения каждого бруска от модуля приложенной силы,

каждой силы трения, возникающей между брусками от модуля приложенной силы.

task4_fig1

Решение

Сухое терние представлено в двух видах – трение покоя и трение скольжения. Максимальная величина силы трения скольжения равна $$

F_{тр.ск.} = \mu N

$$ и она не меняется при дальнейшем скольжении тела.

Сила трения покоя принимает предельное значение, равное силе трения скольжения. Значит, что относительный покой и относительное скольжение определяется совокупностью сил, действующих на каждое тело.

Воспользуемся законом Кулона-Амонтона и вычислим предельные величины силы трения, действующей на нижнюю поверхность первого тела: $$

F_{1m} = 4\mu \cdot 5mg,

$$ силы трения, действующей на нижнюю поверхность второго бруска: $$

F_{2m} = 2\mu \cdot 8mg,

$$ и силы трения, действующей между поверхностью третьего бруска и столом: $$

F_{3m} = \mu \cdot 9mg.

$$ Нанесем эти предельные значения на график зависимости $\frac{F_{тр}}{\mu mg}$ от $\frac{F}{\mu mg}$.

Понятно, что при некоторой величине прикладываемой силы $F$ покой переходит в скольжение. Значит, и сила трения не является постоянной.

Если сила $F$, прикладываемая ко второму бруску, равна нулю, то все бруски находятся в покое (силы трения равны нулю). Это соответствует точке в начале координат на графике.

При увеличении силы $F$ сила трения покоя между первым и вторым брусками будет увеличиваться, препятствуя началу движения второго бруска относительно первого. Одновременно с этим, по третьему закону Ньютона, будет увеличиваться сила, действующая на первый брусок со стороны второго. Аналогично будут расти силы трения покоя, действующие на второй брусок со стороны третьего и на третий брусок со стороны второго. Также будет увеличиваться сила трения покоя, препятствующая началу движения всей системы относительно стола (пока нет относительного движения брусков, их можно рассматривать как единую систему общей массой $9m$).

Итак, пока сила $F<9\mu mg$, все бруски находятся в покое. Как только сила $F$ достигнет величины $9\mu mg$, начнется проскальзывание третьего бруска и всей конструкции вместе взятой относительно стола. При этом, так как $$

9\mu mg < 16\mu mg < 20\mu mg,

$$ относительное движение первого бруска относительно второго, и второго бруска относительно третьего не будет.

Таким образом, в рассмотренной ситуации сила трения покоя будет расти пропорционально увеличению силе $F$ (на графике это соответствует линейной зависимости, начинающейся в нуле). Как только $F$ достигает значения $9\mu mg$, начинается скольжение третьего бруска относительно стола, то есть сила, действующая со стороны стола на третий брусок, будет постоянной. До этого ускорение будет равно нулю.

task4_fig2

При дальнейшем увеличении силы $F$ начинается скольжение второго и первого бруска вместе взятых относительно третьего. При этом первый брусок придет в относительное движение, когда $$

F\geqslant\left( 9+16+20 \right) \mu mg = 45\mu mg.

$$ До этого момента на первое тело будет действовать сила трения покоя, которая появится, только когда $F=9\mu mg$. После достижения величины силы $F = 45\mu mg$ первое тело начнет скользить относительно второго, то есть сила трения скольжения будет постоянной.

task4_fig3

Найдем ускорение в этом случае. Как мы отметили ранее, при $F<9\mu mg$ все три тела покоятся. По мере дальнейшего нарастания силы $F$ все три тела движутся одинаково (с одинаковым ускорением). После достижения силой $F$ порогового значения $45\mu mg$ ускорения всех трех тел будут различны.

Найдем ускорение при совместном движении брусков в случае, когда бруски покоятся относительно друг друга: $$

a = \frac{45 \mu mg - 9\mu mg}{9m} = 4\mu g.

$$ Первый брусок, на который действует предельная сила трения скольжения $20\mu mg$, продолжает двигаться с постоянным ускорением $$

a_1 = \frac{20\mu mg}{5m} = 4\mu g.

$$ Максимальная сила, с которой первый брусок может действовать на второй, равна $20\mu mg-16\mu mg=4\mu mg$. По третьему закону Ньютона, такая же по модулю сила будет действовать на третий брусок и сообщать ему ускорение в направлении действия равнодействующей силы. Таким образом, $9\mu mg+4\mu mg = 13\mu mg$ – предельная сила трения, при которой второй брусок все еще движется поступательно с ускорением, но при этом покоится относительно третьего бруска.

Определим, с каким ускорением будет двигаться второе тело. Чтобы началось относительное проскальзывание второго тела относительно третьего тела и первого тела – относительно второго, необходимо выполнение следующих условий: сила трения скольжения должна действовать между всеми поверхностями, а сила $F$ должна превысить значение $57\mu mg$ (сила со стороны первого тела на второе равна $4\mu mg$, а максимальная сила трения, действующая на поверхность второго тела, равна $16\mu mg$. Значит, при добавлении к предельному значению $F$ $45\mu mg$ еще $12\mu mg$ начинается относительное проскальзывание всех трех тел друг относительно друга). Таким образом, сила трения скольжения, действующая на поверхность второго бруска, достигнет своего максимального значения только когда значение $F$ превысит $57\mu mg$. После этого сила трения, действующая на второй брусок, будет постоянной и равной $16\mu mg$. До этого момента будет сохраняться относительный покой, а сила трения будет расти линейно.

task4_fig4

Используя второй закон Ньютона, найдем величину ускорения третьего тела в предельном случае: $$

a_2 = \frac{\left( 57-36 \right) \mu mg}{3m} = 7\mu g.

$$ Таким образом, как только $F>45\mu mg$, ускорения второго и третьего тел начинают отличаться от ускорения первого тела. При этом ускорение является линейной функцией силы $F$. При переходе порогового значения $57\mu mg$ третье тело начинает двигаться с постоянным ускорением $a_2$, а ускорение второго тела растет по линейному закону.

task4_fig5