семинар 3, сложность 2

Задача 3 Условие Вокруг вертикально расположенного стержня вращается насаженный на него диск. На диске находится шарик, прикрепленный к стержню нитью длиной $L=80$ см и составляющей с ним угол $\alpha = 60^o$ (рис. [fig:task3_1] ). Определить наименьший период обращения системы, при котором шарик не отрывается от диска. Ускорение свободного падения $g= 10 \frac{м}{c^2}$. Значение $\pi$ принять равным $3.14$. Решение Мы рассматриваем ситуацию, в которой шарик не отрывается от диска, то есть когда $N$ чуть больше нуля. В предельном случае $N$ обращается в ноль (происходит отрыв). Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Размерами шарика можно пренебречь по сравнению с длиной нити. Поэтому равнодействующая сил, действующих на шарик, сообщает ему ускорение, направленное к оси поворота: $$ \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}. $$ При равномерном вращении это центростремительное (нормальное) ускорение: $$ a_n= \omega ^2 \cdot r = \frac{4\pi^2r}{T^2}, $$ где $$ \omega = \frac{2\pi}{T}. $$ Расставим силы, действующие на шарик (рис. [fig:task3_2] ). Запишем второй закон Ньютона: $$ m \vec{g}+ \vec{T}+\vec{N} = m \cdot \vec{a}_n. $$ Рассмотрим предельный случай $(N=0)$ и спроецируем уравнение на ось $z$: $$ mg \cos\left( 90^o-\alpha \right) +0+0 = m \cdot a_n \cos \alpha, $$ $$ mg \cdot \sin\alpha = m\cdot a_n \cdot \cos \alpha. $$ Отсюда получаем $$ a_n = g \cdot \tg \alpha, $$ $$ \frac{4\pi^2r}{T_{min}^2} = g\cdot \tg \alpha. $$ Найдем радиус поворота $$ r = L \cdot \sin\alpha $$ и подставим в рассматриваемое уравнение $$ \frac{4\pi^2L\sin\alpha }{T_{min}^2} = g\cdot \frac{\sin\alpha }{\cos \alpha }, $$ $$ T_{min} = \frac{4\pi^2 L \sin\alpha \cdot \cos \alpha }{\sin\alpha \cdot g}, $$ $$ T_{min} = 2\pi \sqrt{ \frac{L \cos\alpha }{g}}, $$ $$ T_{min} \simeq 2\cdot 3.14 \sqrt{\frac{0.8\ м\cdot \cos 60^o}{10 \frac{м}{c^2}}} = 1.26\ c. $$ Ответ: $1.26\ c$ Задача 4 Условие К вершине прямого кругового конуса прикреплена небольшая шайба с помощью нити длины $L = 0,8 м$. Вся система вращается вокруг оси конуса, расположенной вертикально. При каком числе оборотов в единицу времени шайба не будет отрываться от поверхности конуса? Угол при вершине конуса $2\alpha = 120^o$. Решение Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Применим второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек (размером шара можно пренебречь по сравнению с размером нити): $$ \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}. $$ Расставим силы, действующие на шар (рис. [fig:task4_2] ). При вращении шар движется по окружности радиуса $R$, расположенной в горизонтальной плоскости и касаясь образующей конуса. В предельном случае (непосредственно перед отрывом) сила нормальной реакции опоры $N$ со стороны образующей конуса равна нулю: $\vec{N}\to \vec{0}$. Из прямоугольного треугольника, образованного нитью $L$ и радиусом вращения $R$, находим радиус окружности: $$ r = L\cdot \sin\alpha. $$ Угловую скоростью выразим через частоту обращения: $$ \omega = 2\pi\cdot \nu. $$ Тогда центростремительное ускорение будет равно $$ a_{ц.с.} = \omega ^2\cdot r = 4\pi^2 \nu ^2\cdot r. $$ Применим второй закон Ньютона: $$ m \vec{g}+ \vec{T}+ \underbrace{\vec{N}}_{\to \vec{0}} = m\cdot \vec{a}. $$ В проекции на ось $x$: $$ 0+T\cdot \cos \left( 90^o-\alpha \right) = m\cdot a_{ц.с.} $$ и ось $y$: $$ -mg + T\cdot \cos\alpha = m\cdot 0. $$ Получим систему уравнений и решим ее $$ \left\{ \begin{array}{lll} T\sin\alpha = m\cdot a_{ц.с.},\\ T\cdot \cos \alpha = mg. \end{array}\right. $$ Разделим первое уравнение на второе: $$ \tg \alpha = \frac{a_{ц.с.}}{g}, $$ $$ a_{ц.с.} = g\cdot \tg \alpha, $$ $$ 4\pi^2 \nu ^2 \cdot L\cdot \sin\alpha = g\cdot \frac{\sin\alpha }{\cos \alpha }, $$ Выразим частоту обращения: $$ \nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L\cdot \cos \alpha }}, $$ Подставим числовые величины и найдем искомую частоту: $$ \nu \approx \frac{1}{2\cdot 3,14} \sqrt{ \frac{10 \frac{м}{c^2}}{0,8 м \cdot \cos 60^o }} \approx 0,8 Гц. $$ Ответ: $0,8 Гц$. Задача 5 Условие Однородный канат длиной $L=90$ см и массой $m=1$ кг с прикрепленным к одному концу грузом массой $\frac{m}{3}$ находится на гладкой горизонтальной поверхности стола и вращается с угловой скоростью $\omega = 10 \frac{рад}{c}$ вокруг вертикальной оси, проходящей через другой конец каната. Найдите силу натяжения каната на расстоянии $\frac{L}{3}$ от оси вращения. Размер груза мал по сравнению с длиной каната. Решение Рассмотрим описанное движение как совместное движение двух тел. С одной стороны, тело массой $\frac{m}{3}$ движется по окружности радиуса $L$. Движение по окружности происходит благодаря силе натяжения $T_1$ (рис. [fig:task5_2] ). Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Размером груза можно пренебречь, поэтому можно применять второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек: $$ \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}. $$ Рассмотрим силы в проекции на ось $x$: $$ T_1 = \frac{m}{3}\cdot a_{1n}. $$ Напомним, что величина нормальн...