семинар 3, сложность 2: Часть 2
Физика, 9 класс
Задача 3 Условие Вокруг вертикально расположенного стержня вращается насаженный на него диск. На диске находится шарик, прикрепленный к стержню нитью длиной $L=80$ см и составляющей с ним угол $\alpha...
Видео
Конспект
Задача 3
Условие
Вокруг вертикально расположенного стержня вращается насаженный на него диск. На диске находится шарик, прикрепленный к стержню нитью длиной $L=80$ см и составляющей с ним угол $\alpha = 60^o$ (рис. [fig:task3_1]). Определить наименьший период обращения системы, при котором шарик не отрывается от диска. Ускорение свободного падения $g= 10 \frac{м}{c^2}$. Значение $\pi$ принять равным $3.14$.
task3_fig1
Решение
Мы рассматриваем ситуацию, в которой шарик не отрывается от диска, то есть когда $N$ чуть больше нуля. В предельном случае $N$ обращается в ноль (происходит отрыв). Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Размерами шарика можно пренебречь по сравнению с длиной нити. Поэтому равнодействующая сил, действующих на шарик, сообщает ему ускорение, направленное к оси поворота: $$
\vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}.
$$ При равномерном вращении это центростремительное (нормальное) ускорение: $$
a_n= \omega ^2 \cdot r = \frac{4\pi^2r}{T^2},
$$ где $$
\omega = \frac{2\pi}{T}.
$$
Расставим силы, действующие на шарик (рис. [fig:task3_2]).
task3_fig2
Запишем второй закон Ньютона: $$
m \vec{g}+ \vec{T}+\vec{N} = m \cdot \vec{a}_n.
$$ Рассмотрим предельный случай $(N=0)$ и спроецируем уравнение на ось $z$: $$
mg \cos\left( 90^o-\alpha \right) +0+0 = m \cdot a_n \cos \alpha,
$$ $$
mg \cdot \sin\alpha = m\cdot a_n \cdot \cos \alpha.
$$ Отсюда получаем $$
a_n = g \cdot \tg \alpha,
$$ $$
\frac{4\pi^2r}{T_{min}^2} = g\cdot \tg \alpha.
$$ Найдем радиус поворота $$
r = L \cdot \sin\alpha
$$ и подставим в рассматриваемое уравнение $$
\frac{4\pi^2L\sin\alpha }{T_{min}^2} = g\cdot \frac{\sin\alpha }{\cos \alpha },
$$ $$
T_{min} = \frac{4\pi^2 L \sin\alpha \cdot \cos \alpha }{\sin\alpha \cdot g},
$$ $$
T_{min} = 2\pi \sqrt{ \frac{L \cos\alpha }{g}},
$$ $$
T_{min} \simeq 2\cdot 3.14 \sqrt{\frac{0.8\ м\cdot \cos 60^o}{10 \frac{м}{c^2}}} = 1.26\ c.
$$ Ответ: $1.26\ c$
Задача 4
Условие
К вершине прямого кругового конуса прикреплена небольшая шайба с помощью нити длины $L = 0,8 м$. Вся система вращается вокруг оси конуса, расположенной вертикально. При каком числе оборотов в единицу времени шайба не будет отрываться от поверхности конуса? Угол при вершине конуса $2\alpha = 120^o$.
task4_fig1
Решение
Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Применим второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек (размером шара можно пренебречь по сравнению с размером нити): $$
\vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}.
$$ Расставим силы, действующие на шар (рис. [fig:task4_2]).
task4_fig2
При вращении шар движется по окружности радиуса $R$, расположенной в горизонтальной плоскости и касаясь образующей конуса. В предельном случае (непосредственно перед отрывом) сила нормальной реакции опоры $N$ со стороны образующей конуса равна нулю: $\vec{N}\to \vec{0}$. Из прямоугольного треугольника, образованного нитью $L$ и радиусом вращения $R$, находим радиус окружности: $$
r = L\cdot \sin\alpha.
$$ Угловую скоростью выразим через частоту обращения: $$
\omega = 2\pi\cdot \nu.
$$ Тогда центростремительное ускорение будет равно $$
a_{ц.с.} = \omega ^2\cdot r = 4\pi^2 \nu ^2\cdot r.
$$ Применим второй закон Ньютона: $$
m \vec{g}+ \vec{T}+ \underbrace{\vec{N}}_{\to \vec{0}} = m\cdot \vec{a}.
$$ В проекции на ось $x$: $$
0+T\cdot \cos \left( 90^o-\alpha \right) = m\cdot a_{ц.с.}
$$ и ось $y$: $$
-mg + T\cdot \cos\alpha = m\cdot 0.
$$ Получим систему уравнений и решим ее $$
\left\{
\begin{array}{lll}
T\sin\alpha = m\cdot a_{ц.с.},\\
T\cdot \cos \alpha = mg.
\end{array}\right.
$$ Разделим первое уравнение на второе: $$
\tg \alpha = \frac{a_{ц.с.}}{g},
$$ $$
a_{ц.с.} = g\cdot \tg \alpha,
$$ $$
4\pi^2 \nu ^2 \cdot L\cdot \sin\alpha = g\cdot \frac{\sin\alpha }{\cos \alpha },
$$ Выразим частоту обращения: $$
\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L\cdot \cos \alpha }},
$$ Подставим числовые величины и найдем искомую частоту: $$
\nu \approx \frac{1}{2\cdot 3,14} \sqrt{ \frac{10 \frac{м}{c^2}}{0,8 м \cdot \cos 60^o }} \approx 0,8 Гц.
$$ Ответ: $0,8 Гц$.
Задача 5
Условие
Однородный канат длиной $L=90$ см и массой $m=1$ кг с прикрепленным к одному концу грузом массой $\frac{m}{3}$ находится на гладкой горизонтальной поверхности стола и вращается с угловой скоростью $\omega = 10 \frac{рад}{c}$ вокруг вертикальной оси, проходящей через другой конец каната. Найдите силу натяжения каната на расстоянии $\frac{L}{3}$ от оси вращения. Размер груза мал по сравнению с длиной каната.
task5_fig1
Решение
Рассмотрим описанное движение как совместное движение двух тел. С одной стороны, тело массой $\frac{m}{3}$ движется по окружности радиуса $L$. Движение по окружности происходит благодаря силе натяжения $T_1$ (рис. [fig:task5_2]).
task5_fig2
Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Размером груза можно пренебречь, поэтому можно применять второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек: $$
\vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}.
$$ Рассмотрим силы в проекции на ось $x$: $$
T_1 = \frac{m}{3}\cdot a_{1n}.
$$ Напомним, что величина нормального ускорения определяется через угловую скорость и радиус поворота: $$
a_n = \omega ^2\cdot R.
$$ В данном случае: $$
a_{1n} = \omega ^2 \cdot L.
$$ Отсюда получаем силу натяжения каната в точке крепления груза к канату: $$
T_1 = \frac{m}{3} \cdot \omega ^2\cdot L.
$$ Теперь рассмотрим силы, действующие на фрагмент каната (рис. [fig:task5_3]).
task5_fig3
В данном случае нормальное ускорение равно $$
a_{2n} = \omega ^2 \cdot \frac{2}{3}L.
$$ Понятно, что со стороны груза на канат действует сила упругости $T_1$, направленная вправо (по третьему закону Ньютона). Тогда сила упругости, действующая на левый конец каната, должна быть направлена влево (в противном случае не возникнет силы, которая сообщала бы центростремительное ускорение).
Спроецируем эти силы на ось $x$: $$
T_2-T_1 = m\cdot \frac{2}{3}\cdot a_{n2}.
$$ Отсюда получаем $$
T_2 = T_1 + \frac{2}{3}m \cdot \frac{2}{3}\omega ^2L = m \omega ^2L \left( \frac{1}{3}+\frac{4}{9} \right) = \frac{7}{9}m \omega ^2 L.
$$ По третьему закону Ньютона, искомая сила натяжения $T$ совпадает с силой $T_2$: $T_2 = T$. Таким образом, $$
T = \frac{7}{9}m \omega ^2L,
$$ $$
T = \frac{7}{9} \cdot 1\ кг\cdot \left( 10 \frac{рад}{c} \right)^2 \cdot 0.9\ м = 70\ H.
$$ Ответ: $70\ H$.