Иррациональные неравенства Часть 3: Часть 5

Видео

Конспект

Иррациональные неравенства с тригонометрическими функциями

Рассмотрим несколько задач, которые можно разделить на две группы. В первом случае в неравенстве присутствуют два множителя: один содержит иррациональность, но не содержит тригонометрических функций, а второй — наоборот является рациональной функцией от синуса и косинуса переменной. Тогда наличие иррациональности приводит только к ограничениям области изменения аргумента тригонометрической функции. Во втором случае тригонометрическая функция находится под знаком корня.

Рассмотрим неравенство первого типа.

Пример 2.39.

Условие

Решите неравенство (1-2\cos x)\sqrt{6- x-x^2}\leqslant 0 .

Решение

Сначала определим, при каких x подкоренное выражение неотрицательно: 6- x-x^2\geqslant 0\Longleftrightarrow -3\leqslant x\leqslant 2.

При x=-3 и x=2 левая часть неравенства обращается в нуль, и правая также равна нулю. Так как неравенство нестрогое, эти два значения x будут решениями.

Теперь рассмотрим тригонометрическую часть неравенства. Второй множитель неотрицателен, следовательно первый должен быть меньше либо равен нулю. 1-2\cos x \leqslant 0\Longleftrightarrow\cos x\geqslant \frac{1}{2}

\Longleftrightarrow -\frac{\pi}{3}+2\pi n\leqslant x\leqslant

\frac{\pi}{3}+2\pi n, ~~n\in \mathbb{Z}. Легко проверить, что в промежуток [-3;2] попадают только решения тригонометрического неравенства для n=0 .

Ответ \{-3\}\cup \{2\} \cup \left[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\right] .

Задача 2.40.

Условие

Решите неравенство \frac{\sqrt{2+ x-x^2}}{2\sin x-\sqrt{3}}\geqslant 0 .

Решение

Сначала рассмотрим, при каких x выражение в левой части имеет смысл: при 2+ x-x^2\ge 0 и при \sin x\ne \frac{\sqrt 3}{2} . При этом x=-1 и x=-2 , обращающие в нуль знаменатель, являются решениями нестрогого неравенства. Далее, в силу того, что числитель всегда неотрицателен, для выполнения неравенства знаменатель должен быть больше нуля: \sin x>\frac{\sqrt 3}{2}\Longleftrightarrow \frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in \mathbf{Z}. Подкоренное выражение неотрицательно при -1\le x\le 2 , поэтому решением неравенства будет пересечение полученных областей: x=-1 и \frac{\pi}{3}<x\le 2.

Ответ \left(\frac{\pi}{3};2\right]\cup \{-1\} .

Рассмотрим второй тип иррациональных неравенств с тригонометрическими функциями.

Пример 2.41.

Условие

Решите неравенство \sqrt{\sin x}>\sqrt{-\cos x}.

Решение

\sqrt{\sin x}>\sqrt{-\cos x}\Longleftrightarrow \left \{

\begin{array}{l}

\sin x >-\cos x, \\

-\cos x\geqslant 0,

\end{array}\right.\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow

\left \{\begin{array}{l}

\sqrt{2} \sin\left( x+\frac{\pi}{4}\right ) >0, \\

\cos x \leqslant 0.

\end{array}\right. Решаем неравенства в системе, находим те значения неизвестной, при которых верны оба неравенства системы.

Ответ \left[\frac{\pi}{2}+2\pi k; \frac{3\pi}{4}+2\pi k\right), ~~ k\in \mathbb{Z} .