Иррациональные уравнения Часть1: Часть 1

Видео

Конспект

Иррациональные уравнения

Напомним, что уравнения или неравенства называются иррациональными, если они содержат неизвестную величину под знаком радикала, или корня. Далее знаком корня четной степени обозначается арифметический корень, то есть неотрицательная величина, которая при возведении в в соответствующую целую степень даст подкоренное выражение, причем подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Корни нечетной степени определены для любых значений подкоренного выражения, как положительных, так и отрицательных, и их значения также могут иметь любой знак.

Решение иррациональных уравнений возведением в квадрат

Рассмотрим основные типы уравнений с квадратичной иррациональностью, которые удобно решать возведением в квадрат. Во-первых, это уравнения вида \sqrt {f(x)} = g(x). Слева от знака равенства стоит неотрицательное выражение, следовательно, для того, чтобы решение существовало, функция g(x) тоже должна быть неотрицательна. Если обе части уравнения неотрицательны, то можно возводить уравнение в квадрат, не опасаясь приобретения новых корней. Заметим, что в этом случае нет необходимости исследовать знак подкоренного выражения, так как после возведения в квадрат имеем в правой части уравнения g^2(x)\geqslant

0 . Не рекомендуется возводить в квадрат уравнения, в которых правая и левая части могут иметь разные знаки при различных значениях x , потому что в этом случае возможно появление посторонних корней. Однако если корни имеют простой вид, можно проверить их подстановкой в исходное уравнение. Итак, \sqrt{f(x)} = g(x)\Longleftrightarrow

\left\{

{\begin{array}{l}

f(x) = g^2(x), \\

g(x) \geqslant 0 \\

\end{array}} \right. (условие неотрицательности f(x) получается автоматически). Если в квадрат приходится возводить несколько раз, необходимо каждый раз требовать, чтобы обе части уравнения были неотрицательны!

Также встречаются уравнения вида \sqrt {f(x)} = \sqrt{g(x)}. Они тоже решаются возведением в квадрат, с учетом ограничений на подкоренное выражение: уравнения равносильны любой из систем \left\{ \begin{array}{l}

f(x) = g(x), \\

g(x) \geqslant 0, \\

\end{array} \right.~~или~~

\left\{ \begin{array}{l}

f(x) = g(x), \\

f(x) \geqslant 0. \\

\end{array} \right. Выбирается система с более простым для решения неравенством.

Отметим еще, что иногда приходится извлекать корень из полного квадрата. Запомним формулу \sqrt{a^2}=|a|

Пример 1.1.

Условие

Решите уравнение x+1=\sqrt{x+3} .

Решение

Это уравнение решается по первой схеме (1.1)-(1.2), то есть возведением в квадрат при условии неотрицательности правой части: \begin{array}{l}

x^2+2x+1 = x+3, \\

x+1\geqslant 0. \\

\end{array} Решаем полученное квадратное уравнение и находим два корня: x=1 , x=-2 , из которых неравенству в системе удовлетворяет только первый.

Ответ 1 .

Задача 1.2.

Условие

Решите уравнение \sqrt{4-6x-x^2} =x+4 .

Решение

\left\{

{\begin{array}{l}

4-6x-x^2 = x^2+8x+16, \\

x+4\geqslant 0. \\

\end{array}} \right.\Longleftrightarrow

\left\{

{\begin{array}{l}

2x^2+14x+12 = 0, \\

x\geqslant -4 . \\

\end{array}} \right. Решая квадратное уравнение, получаем x=-6 , x=-1 . С учетом условия x\geqslant -4 ответ x=-1 .

Ответ -1 .

Рассмотрим более сложную задачу.

Пример 1.3.

Условие

Решите уравнение \sqrt{2x-3} + \sqrt{4x+1} = 4 .

Решение

Здесь можно предложить два пути: либо возвести в квадрат <<в лоб>>, либо сначала перенести один корень направо, а потом уже возводить в квадрат. В данной ситуации первый путь несколько предпочтительнее, так как правая и левая части уравнения заведомо неотрицательные, и при возведении в квадрат не требуется дополнительных условий неотрицательности правой и левой частей уравнения. Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем: \begin{array}{l}

2x - 3 + 2 \sqrt{2x - 3}\sqrt{4x + 1} + 4x + 1 = 16\Longleftrightarrow \\ \qquad\qquad\sqrt{2x - 3} \sqrt{4x + 1} = 9 - 3x.

\end{array} Придется еще раз возвести в квадрат, при этом надо добавить условие неотрицательности правой части и подкоренных выражений: \left\{\begin{array}{l}

(2x - 3)(4x + 1) = 81 - 54x + 9x^2, \\

2x-3 \geqslant 0, \\

4x=1 \geqslant 0,\\

9 - 3x \geqslant 0, \\

\end{array} \right.

\Longleftrightarrow

\left\{\begin{array}{l}

x^2 - 44x + 84 = 0, \\

x \geqslant 1,5, \\

x \leqslant 3, \\

\end{array} \right. \Longleftrightarrow

\left\{\begin{array}{l}

\left[\begin{array}{l}

x = 42,\\

x = 2,

\end{array} \right. \\

1,5 \leqslant x \leqslant 3 , \vphantom{F^R}\\

\end{array} \right.

\Longleftrightarrow

x = 2.

Ответ 2 .