Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами Часть 2: Часть 1
Математика, 10 класс
Корни под знаком корня Пример 3.19. Условие Решите уравнение \sqrt{a+\sqrt{a+x}} = x . Решение \begin{array}{l} \sqrt{a+\sqrt{a+x}} = x \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \geqslant 0, \\ a...
Видео
Конспект
Корни под знаком корня
Пример 3.19.
Условие
Решите уравнение \sqrt{a+\sqrt{a+x}} = x .
Решение
\begin{array}{l}
\sqrt{a+\sqrt{a+x}} = x \Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
x \geqslant 0, \\
a+\sqrt{a+x}=x^2,
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow \\
\qquad \Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
x \geqslant 0, \\
x^2-a\geqslant 0,\\
a+x=(x^2-a)^2.
\end{array}\right.
\end{array} Полученное уравнение является уравнением четвертой степени относительно x и второй - относительно параметра a . Попробуем решить его как квадратное относительно a . a+x= \left( x^2 - a \right)^2\Longleftrightarrow a^2-a \left( 1 + 2x^2 \right)+x^4-x=0. Дискриминант этого уравнения является полным квадратом, D=(1+2x)^2 , поэтому решения имеют простой вид: \left[ \begin{array}{l}
a=x^2+x+1, \\
a=x^2-x, \\
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
x^2+x+1-a=0, \\
x^2-x-a=0.
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\Longleftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
x=\frac{-1\pm\sqrt{4a-3}}{2}, \\
x=\frac{1\pm\sqrt{1+4a}}{2}.\\
\end{array}\right. Теперь необходимо проверить выполнение условий x \geqslant 0 и x^2-a\geqslant 0 . Начнем с первой пары решений x=\frac{-1\pm\sqrt{4a-3}}{2} . Неотрицательным является только x=\frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2} . После несложных преобразований убеждаемся, что это решение не удовлетворяет условию x^2-a\geqslant 0 ни при каких a .
Проверяя вторую пару решений x=\frac{1\pm\sqrt{1+4a}}{2} , получаем условия существования решений.
Ответ если a \in(-\infty;-0,25) , то нет решений; если a\in[ - 0,25; 0] , то x = \frac{1 \pm \sqrt{1+4a}}{2} ; если a \in( 0;+\infty) , то x = \frac{1 + \sqrt{1+4a}}{2} .
Задача 3.20.
Условие
Решите уравнение x + \sqrt{a+\sqrt{x}} = a .
Решение
Сразу отметим, что при a=0 есть решение одно решение x=0 .
Далее обозначим \sqrt x=y , тогда уравнение примет более простой вид: \sqrt{a+y}=a-y^2 . Решим его. \sqrt{a+y}=a-y^2\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
a-y^2\ge 0,\\
a+y=a^2-2ay^2+y^4.\\
\end{array}\right. Решим полученное уравнение как квадратное относительно a : a^2-a(2y^2+1)+y^4-y=0. Дискриминант этого уравнения есть D=(2y^2+1)^2-4y^4+4y=4y^4+4y^2+1-4y^4+4y=(2y+1)^2. Тогда a=\frac{2y^2+1\pm (2y+1)}{2} , откуда получаем два уравнения уже для y : \left[ \begin{array}{l}
y^2+y+1-a=0,\\
y^2-y-a=0.\\
\end{array}\right. Запишем первое уравнение из совокупности со всеми условиями: \left\{ \begin{array}{l}
y^2+y+1-a=0,\\
a\ge 0.\\
y\ge 0,\\
y^2\le a.
\end{array}\right. Решением уравнения будет y=\frac{-1\pm \sqrt{4a-3}}{2} , причем подойти может только y=\frac{-1+ \sqrt{4a-3}}{2} , так как y\ge 0 . Проверим для этого корня все условия: \left\{ \begin{array}{l}
\frac{-1+ \sqrt{4a-3}}{2}\ge 0,\\
a\ge 0,\\
\left(\frac{-1+ \sqrt{4a-3}}{2}\right)^2\le a.
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
1\le a<+\infty. Итак, y=\frac{-1+ \sqrt{4a-3}}{2} при 1\le a<+\infty . Для второго уравнения: \left\{ \begin{array}{l}
y^2-y-a=0,\\
a\ge 0.\\
y\ge 0,\\
y^2\le a.
\end{array}\right. Решением уравнения будет y=\frac{1\pm \sqrt{4a+1}}{2} , причем подойти может только y=\frac{1+ \sqrt{4a+1}}{2} , так как y\ge 0 и a\ge 0 . Проверим для этого корня все условия: \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1+ \sqrt{4a+1}}{2}\ge 0,\\
a\ge 0,\\
\left(\frac{1+ \sqrt{4a+1}}{2}\right)^2\le a.
\end{array}\right. Посдеднее неравенство не имеет решений, так как \left(\frac{1+ \sqrt{4a+1}}{2}\right)^2\le a\Longleftrightarrow \frac{1+2a+\sqrt{4a+1}}{2}\le a\Longleftrightarrow 1+ \sqrt{4a+1}\le 0 не выполняется ни при одном a .
Следовательно, существует только y=\frac{-1+ \sqrt{4a-3}}{2}\Longleftrightarrow x = y^2= \frac{2a - 1 - \sqrt{4a - 3}}{2} при 1\le a<+\infty .
Ответ если a \in (-\infty,0) \cup (0,1) , то нет решений; если a = 0 , то x = 0 ; если a \in [1,\infty) , то x = \frac{2a - 1 - \sqrt{4a - 3}}{2} .