Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами Часть 2: Часть 4
Математика, 10 класс
Кубические уравнения с параметрами Введение новой переменной в виде радикала особенно удобно для решения уравнений с корнями кубическими и более высокого порядка, поскольку возведение в большую степен...
Видео
Конспект
Кубические уравнения с параметрами
Введение новой переменной в виде радикала особенно удобно для решения уравнений с корнями кубическими и более высокого порядка, поскольку возведение в большую степень приводит к громоздким вычислениям.
Пример 3.25.
Условие
В зависимости от значений параметра a решите уравнение \sqrt[3]{x+a+63} - \sqrt[3]{x+a-1} = 4.
Решение
Пусть t = \sqrt[3]{x+a-1} . Тогда x+a+63 = t^{3} + 64 , уравнение примет вид \begin{array}{l}
\sqrt[3]{t^{3} + 64} = 4 + t
\Longleftrightarrow
t^{3} + 64 = \left(4 + t\right)^3
\Longleftrightarrow \\
t^{3} + 64 = 64 + 12t^2 + 48t + t^3
\Longleftrightarrow
t(t + 4) = 0
\Longleftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
t = 0, \\
t = - 4,
\end{array}\right.
\end{array} Возвращаемся к старой переменной x : \left[\begin{array}{l}
x + a - 1 = 0, \\
x + a - 1 = - 64,
\end{array}\right.
~~\Longleftrightarrow~
\left[\begin{array}{l}
x = 1 - a, \\
x = - 63 - a.
\end{array}\right.
Ответ при всех a два решения: x = 1 - a , x = -63 - a .
Задача 3.26.
Условие
В зависимости от значений параметра a решите уравнение \sqrt[3]{x^2+a^2-29} = \sqrt[3]{x^2+a^2-2}-3.
Решение
Пусть t=\sqrt[3]{x^2+a^2-2}\Longrightarrow x^2=t^3-a^2+2 , тогда уравнение принимает вид \sqrt[3]{t^3-a^2+2+a^2-29}=t-3\Longleftrightarrow t^3-27=t^3-9t^2+27t-27\Longleftrightarrow t(-t+3)=0. Либо t=0\Longleftrightarrow x^2+a^2-2=0 \Longleftrightarrow x=\pm\sqrt{2-a^2} \quad при \quad -\sqrt 2\le a\le \sqrt 2; либо t=3\Longleftrightarrow x^2+a^2-2=27\Longleftrightarrow x=\pm\sqrt{29-a^2} \quad при \quad -\sqrt {29}\le a\le \sqrt {29}.
Ответ если a \in \left[- \sqrt{2};\sqrt{2}\right] , то x=\pm \sqrt{2-a^2}; x=\pm \sqrt{11-a^2} ; если a \in \left[- \sqrt{11};-\sqrt{2} \right) \cup \left(\sqrt{2} ; \sqrt{11}\right] , то x=\pm \sqrt{11-a^2} ; при остальных a решений нет.
В конце рассмотрим интересную задачу, в которой рассматривается случай, когда неравенство имеет единственное решение.
Пример 3.27.
Условие
При каких значениях a неравенство \left( {x^{2} - \left( {a + 2} \right)x - 2a^{2} + 4a}
\right)\sqrt {1 - x} \leqslant 0 имеет единственное решение?
Решение
Выражение в левой части имеет смысл только при x \leqslant 1 . Решение неравенства x = 1 существует при всех значениях a . Поскольку одно решение имеется всегда, значит, остальные либо должны не существовать, либо находиться вне области определения, либо совпадать с существующим. То есть корни квадратного трехчлена x^{2} - \left( {a + 2} \right)x - 2a^{2} + 4a должны либо отсутствовать, либо быть больше или равны 1 . Найдем дискриминант D = (a + 2)^2 + 4\left(2a^2 - 4a \right) = (3a - 2)^2 \geqslant 0. Отсюда вытекает, что хотя бы один корень существует всегда. Найдем корни квадратного трехчлена: x_{1,2} = \frac{a + 2 \pm (3a - 2)}{2} ~\Longleftrightarrow~ x_1 = 2a,
~x_2 = 2 - a. Таким образом, для параметра a имеем следующую систему неравенств \left\{\begin{array}{l}
2a \geqslant 1,\\
2 - a \geqslant 1
\end{array} \right.
\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
a \geqslant 1/2,\\
a \leqslant 1,
\end{array} \right.
\Longleftrightarrow
1/2 \leqslant a \leqslant 1.
Ответ a \in [0,5;1] .