Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами Часть 2: Часть 3
Математика, 10 класс
Пример 3.23. Условие В зависимости от значений параметра a решите уравнение \sqrt{x+1} - \sqrt{a-x} = 1. Решение Пусть t = \sqrt{a-x} \geqslant 0 . Тогда t^{2} = a - x ~\Longleftrightarrow ~ x = a - t...
Видео
Конспект
Пример 3.23.
Условие
В зависимости от значений параметра a решите уравнение \sqrt{x+1} - \sqrt{a-x} = 1.
Решение
Пусть t = \sqrt{a-x} \geqslant 0 . Тогда t^{2} = a - x ~\Longleftrightarrow ~ x = a - t^{2}. Уравнение примет вид \sqrt{a - t^{2} + 1} - t = 1. Изолируем радикал в левой части и возведем уравнение в квадрат. При этом дополнительных условий не потребуется, так как в силу неотрицательности t правая часть t+1 больше нуля: a - t^{2} + 1 = (t+1)^2
\Longleftrightarrow
2t^2 + 2t - a = 0. Так как нас интересуют только неотрицательные корни уравнения, получаем систему: \left\{ \begin{array}{l}
t = \frac{-1 + \sqrt{1 + 2a}}{2}, \\
t \geqslant 0,
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
x = a-\left(\frac{-1 + \sqrt{1 + 2a}}{2}\right)^2, \\
\frac{-1 + \sqrt{1 + 2a}}{2} \geqslant 0,
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{4a-(1+1 +2a-2 \sqrt{1 + 2a})}{4}, \\
\sqrt{1 + 2a} \geqslant 1,
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{a - 1 + \sqrt{1 + 2a}}{2}, \\
a \geqslant 0.
\end{array}\right.
Ответ если a \in(-\infty; 0) , то нет решений; если a \in [0 ;+\infty) , то x = \frac{a - 1 + \sqrt{1 + 2a}}{2} .
Задача 3.24.
Условие
Для любого значения a решите неравенство 5\left( {2a + x} \right) + 9a \sqrt {2a + x} - 2a^{2} > 0.
Решение
Введем новую переменную \sqrt {2a + x}=t\ge 0 и получим неравенство 5t^2+9at-2a^2>0 . Корни квадратного трехчлена в левой части равны t_1=-2a и t_2= \frac{a}{5} .
При a<0 t_1>0 ,а t_2<0 , и с учетом условия t\ge 0 решением квадратного неравенства может быть только t>-2a\Longleftrightarrow\sqrt {2a + x}>-2a\Longleftrightarrow x>4a^2-2a .
При a>0 t_1<0 ,а t_2>0 , решением квадратного неравенства может быть только t> \frac{a}{5}\Longleftrightarrow\sqrt {2a + x}> \frac{a}{5}\Longleftrightarrow x>\frac{a^2}{25}-2a .
И, наконец, при a=0 получаем при подстановке x>0 .
Ответ если a (-\infty; 0) , то x \in (4a^{2} - 2a;+\infty) ; если a \in [0;+\infty) , то x\in\left( \frac{a^{2}}{25} - 2a;+\infty\right) .