Иррациональные неравенства Часть 2: Часть 1

Видео

Конспект

Сведение к эквивалентным системам без иррациональности и использование сопряженных выражений

Одним из методов преобразования иррациональных неравенств к более простому виду является применение формулы (1.6). Сначала рассмотрим случай <<прямого>> применения этой формулы.

Пример 2.16.

Условие

Решите неравенство \frac{2}{2+\sqrt{4-x^2}} +\frac{1}{2-\sqrt{4-x^2}}> \frac{1}{x}.

Решение

Здесь легко определить область допустимых значений для x , поэтому сделаем это сразу: |x|\leqslant 2 , x\ne 0 (неотрицательное подкоренное выражение и знаменатели не равны нулю).

Приведем слагаемые в правой части к общему знаменателю: \frac{2}{2+\sqrt{4-x^2}} +\frac{1}{2-\sqrt{4-x^2}}>

\frac{1}{x}\Longleftrightarrow

\frac{6-\sqrt{4-x^2}}{x^2}>\frac{1}{x}\Longleftrightarrow \frac{6-\sqrt{4-x^2}-x}{x^2}>0\Longleftrightarrow

6-x>\sqrt{4-x^2}\Longleftrightarrow2x^2-12x+32>0. Дискриминант последнего квадратного уравнения меньше нуля, следовательно неравенство верно для всех x из области допустимых значений.

Мы воспользовались стандартной схемой (2.2) решения неравенств с учетом условия |x|\leqslant 2 , при котором неравенство 6-x>0 выполнено.

Ответ [-2;0)\cup (0;2] .

Задача 2.17.

Условие

Решите неравенство \frac{2}{x-\sqrt{x^2-2}}+\frac{1}{x+\sqrt{x^2-2}}>1.

Решение

В левой части знаменатели представляют собой сопряженные выражения, приведем дроби к общему знаменателю: \frac{2}{x-\sqrt{x^2-2}}+\frac{1}{x+\sqrt{x^2-2}}=\frac{2x+2\sqrt{x^2-2}+x-\sqrt{x^2-2}}{x^2-x^2+2}=\frac{3x+\sqrt{x^2-2}}{2}. Отсюда неравенство можно записать как \sqrt{x^2-2}>2-3x. Рассмотрим, как всегда, два случая. В первом \left\{ \begin{array}{l}

2-3x <0, \\

x^2-2\ge 0,

\end{array}\right.\Longleftrightarrow

\left\{ \begin{array}{l}

x>\frac{2}{3}, \\

\left[ \begin{array}{l}

x\ge \sqrt 2, \\

x\le -\sqrt 2,

\end{array}\right.

\end{array}\right. \Longleftrightarrow

x\ge \sqrt 2. Во втором случае \left\{ \begin{array}{l}

2-3x \ge 0, \\

x^2-2>4-12x+9x^2,

\end{array}\right.\Longleftrightarrow

\left\{ \begin{array}{l}

x\le\frac{2}{3}, \\

8x^2-12x+6>0.

\end{array}\right. Последнее неравенство не имеет решений.

Ответ \left[ \sqrt{2}; + \infty \right).

Неравенства вида \sqrt{f(x)}-\sqrt {g(x)}\geqslant 0

Рассмотрим простейший случай неравенства \sqrt{f(x)}-\sqrt {g(x)}\geqslant 0\Longleftrightarrow \sqrt{f(x)}\geqslant \sqrt {g(x)} . Если в уравнениях вида \sqrt{f(x)}=\sqrt {g(x)} можно для учета условия неотрицательности подкоренных выражений выбрать любую функцию, то в неравенствах такой свободы нет.

Пример 2.18.

Условие

Решите неравенство \sqrt{\frac{5}{2}x^2-x^3}\geqslant \sqrt{6x-\frac{5}{2}x^2} .

Решение

\sqrt{\frac{5}{2}x^2-x^3}\geqslant

\sqrt{6x-\frac{5}{2}x^2}\Longleftrightarrow

\frac{5}{2}x^2-x^3\geqslant 6x-\frac{5}{2}x^2\geqslant

0\Longleftrightarrow \left \{ \begin{array}{l}

x^3-5x^2+6x\leqslant 0,\\

6x-\frac{5}{2}x^2\geqslant 0,

\end{array}\right.\Longleftrightarrow

\left \{ \begin{array}{l}

x(x-2)(x-3) \leqslant 0,\\

x\left(\frac{5}{2}x-6 \right)\leqslant 0.

\end{array}\right. Решаем методом интервалов эту систему рациональных неравенств. Обратите внимание, что x=0 является решением системы!

Ответ \{0\}\cup \left[2;\frac{12}{5}\right] .

Задача 2.19.

Условие

Решите неравенство \sqrt{\frac{3}{2}x^2-x^3}\geqslant \sqrt{3x-\frac{5}{2}x^2} .

Решение

\sqrt{\frac{3}{2}x^2-x^3}\geqslant \sqrt{3x-\frac{5}{2}x^2}\Longleftrightarrow

\frac{3}{2}x^2-x^3\geqslant 3x-\frac{5}{2}x^2\geqslant

0\Longleftrightarrow \left \{ \begin{array}{l}

-x^3+4x^2-36x\geqslant 0,\\

\frac{5}{2}x^2-3x\leqslant 0,

\end{array}\right.\Longleftrightarrow

\left \{ \begin{array}{l}

x(x-1)(x-3) \leqslant 0,\\

x\left(5x-6 \right)\leqslant 0.

\end{array}\right. Решаем методом интервалов эту систему рациональных неравенств и получаем ответ. Обратите внимание, что снова точка 0 является решением.

Ответ \{0\}\cup \left[1;\frac{6}{5}\right] .