Иррациональные неравенства Часть 2: Часть 3

Видео

Конспект

Умножение на сопряженное выражение

Другим способом решения таких задач является умножение на сопряженное выражение. Рассмотрим, например, неравенство вида \frac{\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}}{h(x)}\leqslant 0 . В силу того, что сопряженное числителю выражение \sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}\geqslant 0 для всех x из ОДЗ, умножение на это выражение обеих частей неравенства, приводит к равносильной системе: \frac{\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}}{h(x)}\leqslant 0\Longleftrightarrow

\left\{ {\begin{array}{l}

f(x) \geqslant 0,\\

g(x) \geqslant 0,\\

\frac{f(x)-g(x)}{h(x)}\leqslant 0;

\end{array}} \right. Таким образом, иррациональное неравенство сводится к системе неравенств без иррациональности.

Пример 2.22.

Условие

Решите неравенство \frac{\sqrt{2x^2+4x}-\sqrt{x^2-x-6}}{x^2-1}\geqslant 0.

Решение

Умножим обе части неравенства на сопряженное числителю неотрицательное выражение, предварительно записав условие неотрицательности подкоренных выражений: \frac{\sqrt{2x^2+4x}-\sqrt{x^2-x-6}}{x^2-1}\geqslant 0\Longleftrightarrow

\left\{ {\begin{array}{l}

2x^2+4x\geqslant 0,\\

x^2-x-6 \geqslant 0,\\

\frac{2x^2+4x- x^2+x+6}{x^2-1}\geqslant 0. \\

\end{array}} \right. Первые два неравенства верны при x \in (-\infty; -2]\cup [3; +\infty) .

Последнее неравенство \frac{x^2+5x+6}{x^2-1}\geqslant 0 решается методом интервалов.

Ответ (-\infty;-3]\cup \{-2\}\cup [3;+\infty) .

Задача 2.23.

Условие

Решите неравенство (x-3)\left(\sqrt{3x^2-4x+4}-\sqrt{2x^2+2x-4}\right)<0.

Решение

Сначала учтем, что первое подкоренное выражение всегда больше нуля, а второе - либо при x\ge 1 , либо при x\le -2 . Далее предполагаем, что условие x\in (-\infty; -2]\cup[1;+\infty) выполнено.

Умножим обе части неравенства на \sqrt{3x^2-4x+4}+\sqrt{2x^2+2x-4}>0, и получим: (x-3)\left(3x^2-4x+4-2x^2-2x+4\right)<0\Longleftrightarrow (x-2)(x-2)(x-4)<0. С учетом ограничений получаем ответ.

Ответ (-\infty; -2]\cup [1; 2) \cup(3;4) .