Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами Часть 1: Часть 1
Математика, 10 класс
Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами Основные методы решения иррациональных уравнений и неравенств с параметрами остаются теми же, что и в задачах без параметров - переход к равносильн...
Видео
Конспект
Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами
Основные методы решения иррациональных уравнений и неравенств с параметрами остаются теми же, что и в задачах без параметров - переход к равносильной системе уравнений и неравенств без радикалов (обычно с помощью возведения в степень). Заметим, что наличие параметра приводит, как правило, к большому количеству дополнительных условий, поэтому решение часто требует весьма громоздких выкладок. Чтобы их сократить, рекомендуется уменьшать количество дополнительных условий (разумеется, не в ущерб равносильности перехода!) при каждом удобном случае, используя индивидуальные свойства данной задачи.
Важное замечание: задача с параметром представляет собой множество задач в зависимости от значений параметра. Это определяет структуру ответа: сначала задается очередной характерный промежуток значений параметра, а затем - соответствующие ему решения. Области изменения параметра не должны перекрываться, но при этом в совокупности исчерпывать все допустимые значения этого параметра.
Рассмотрим сначала несколько примеров, не требующих возведения в степень.
Решение задач с параметром без возведения в степень
Пример 3.1.
Условие
Решите уравнение (x-a) \sqrt{x-1} = 0 .
Решение
Уравнение превращается в верное равенство, если оба множителя имеют смысл, и хотя бы один из них равен нулю. Первый множитель имеет смысл при всех x и при всех a , а второй - только при x \geqslant 1 . Таким образом, получаем следующую цепочку равносильных переходов: \begin{array}{l}
(x-a) \sqrt{x-1} = 0 \Longleftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
x = 1,\\
\left\{\begin{array}{l}
x = a,\\
x - 1 \geqslant 0,
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\hskip-2mm\Longleftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
x = 1,\\
\left\{\begin{array}{l}
x = a,\\
x \geqslant 1,
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow\\
\qquad \Longleftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
x = 1,\\
x = a \quad при \quad a \geqslant 1.\\
\end{array}\right.
\end{array} Располагаем результаты по промежуткам изменения параметра и получаем ответ.
Ответ если a \in (-\infty;1] , то x = 1 ; если a \in(1;+\infty) , то x = a , x = 1 .
Задача 3.2.
Условие
Решите уравнение (x + 2a) \sqrt{x} = 0 .
Решение
\begin{array}{l}
(x+2a) \sqrt{x} = 0 \Longleftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
x = 0,\\
\left\{\begin{array}{l}
x = -2a,\\
x \geqslant 0,
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\hskip-2mm\Longleftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
x = 0,\\
\left\{\begin{array}{l}
x =-2 a,\\
x \geqslant 0,
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow\\
\qquad \Longleftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
x = 0,\\
x = -2a \quad при \quad a \leqslant 0.\\
\end{array}\right.
\end{array} Ответ если a \in (-\infty; 0) , то x = -2a , x = 0 ; если a \in [0;+\infty) , то x = 0 .
Пример 3.3.
Условие
Решите уравнение (x - a - 1) \sqrt{x - 2a - 3} =0.
Решение
Данное уравнение обращается в верное равенство, если оба множителя имеют смысл, и хотя бы один из них равен нулю. Поскольку первый сомножитель определен при всех x и при всех a , то x = 2a + 3 при a \in \mathbb{R} . Далее приравняем нулю первый множитель при условии, что существует второй. Получаем второе решение и условия его существования: \left\{\begin{array}{l}
x = a + 1,\\
x \geqslant 2a + 3 ,\\
\end{array}\right.
\hskip-1.5mm\Longleftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
x = a + 1,\\
a + 1 \geqslant 2a + 3, \\
\end{array}\right.
\hskip-1.5mm\Longleftrightarrow
x = a + 1 \quad при \quad a \leqslant - 2.
Ответ если a \in (- \infty; - 2] , то x = a + 1 , x = 2a + 3 ; если a \in ( - 2; + \infty) , то x = 2a + 3 .
Задача 3.4.
Условие
Решите уравнение (x - a) \sqrt{ x - 2a} = 0.
Решение
\begin{array}{l}
(x - a) \sqrt{ x - 2a} = 0 \Longleftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
x = 2a,\\
\left\{\begin{array}{l}
x = a,\\
x \geqslant 2a.
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\end{array} Тогда x=a существует при a\geqslant 2a , что возможно только при a\leqslant 0 . Отсюда получаем ответ.
Ответ если a \in(-\infty; 0] , то x = a , x = 2a ; если a \in( 0;+\infty) , то x = 2a .
Пример 3.5.
Условие
Решите неравенство x \sqrt{x - a}\leqslant 0.
Решение
Сразу отметим, что левая часть неравенства имеет смысл только в случае x\geqslant a . Второй множитель в неравенстве больше либо равен нулю. Поэтому рассмотрим два случая.
1) \sqrt{x -a}=0 , то есть x=a является решением нестрогого неравенства, причем оно существует при всех a .
2) \sqrt{x -a}>0 , тогда второй множитель строго положителен, и можно разделить на него обе части, не меняя знака неравенства.
Отсюда вытекает следующая цепочка равносильных переходов:
x \sqrt{x - a}
\leqslant 0
\Longleftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
x = a, \\
\left\{\begin{array}{l}
x > a, \\
x \leqslant 0,
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\Longleftrightarrow~~
\left[\begin{array}{l}
x = a, \\
\left\{\begin{array}{l}
a < x \leqslant 0, \\
a < 0.
\end{array} \right.
\end{array} \right. Условие a < 0 в последней системе добавлено, чтобы существовал промежуток a < x \leqslant 0 . Учитывая, что первое решение существует при всех значениях a , а второе только при a < 0 , получаем ответ.
Ответ если a \in (-\infty;0) , то x\in [a ; 0] ; если a \in[0;+\infty) , то x = a .
Задача 3.6.
Условие
Решите неравенство |x - 1| \sqrt{x + a}> 0.
Решение
Выражение в левой части неравенства имеет смысл при x\geqslant -a . При этом x=-a не является решением, так как неравенство строгое. По этой же причине x\ne 1 . Итак, неравенство верно, если x>-a и x\ne 1 . При этом, если 1\leqslant-a , то решением будет x>-a . Если 1>-a , то нужно исключить единицу и x\in (-a;-1)\cup (1;+\infty) .
Ответ если a \in (-\infty; - 1] , то x \in (-a;+\infty) ; если a \in(- 1;+\infty) , то x\in(- a ; 1) \cup (1;+\infty) .
Пример 3.7.
Условие
Решите неравенство \sqrt{x - 3a + 1} \geqslant x - x^2 - 1.
Решение
Поскольку x - x^2 - 1 = - \left( x^2 - x + 1 \right) < 0 при всех значениях x , то данное неравенство выполнено при всех x , при которых определено выражение в левой части неравенства, то есть при x - 3a + 1 \geqslant 0~ \Longleftrightarrow~
x \geqslant 3a - 1 .
Ответ x \in [ 3a - 1;+\infty) при всех a .
Задача 3.8.
Условие
Решите неравенство \sqrt{x - 5a + 3} \geqslant 2x - x^2 - 4 .
Решение
Поскольку 2x - x^2 - 4 = - \left( x^2 - 2x + 4 \right) < 0 при всех значениях x , то данное неравенство выполнено при всех x , при которых существует радикал, то есть при x - 5a + 3 \geqslant 0~ \Longleftrightarrow~
x \geqslant 5a - 3 .
Ответ x \in[ 5a - 3;\infty) при всех a .