Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами Часть 1: Часть 2

Видео

Конспект

Возведение в степень

Далее рассмотрим несколько задач, которые удобно решать по стандартной схеме, то есть с помощью перехода к равносильной системе уравнений и неравенств без радикалов, возводя исходное уравнение или неравенство в степень и оговаривая все необходимые условия.

Пример 3.9.

Условие

Решите уравнение \sqrt{4x+a} = 2x- 1, и найдите, при каких a имеется ровно 2 различных решения.

Решение

Возведем данное уравнение в квадрат, добавив условие неотрицательности правой части: \begin{array}{l}

\sqrt{4x+a} = 2x - 1~ \Longleftrightarrow~

\left\{\begin{array}{l}

4x + a = 4x^2 - 4x + 1, \\

2x - 1 \geqslant 0,

\end{array} \right.

\Longleftrightarrow \\

\qquad \Longleftrightarrow

\left\{\begin{array}{l}

4x^2 - 8x - (a - 1) = 0, \\

x \geqslant \frac{1}{2}.

\end{array} \right.

\end{array} Найдем решения уравнения и подставим в условие x \geqslant \frac{1}{2} \vphantom {\int} , чтобы выяснить, при каких значениях параметра a решение существует. \begin{array}{l}

\left\{\begin{array}{l}

x = \frac{2 \pm \sqrt{a + 3}}{2}, \\

x \geqslant \frac{1}{2},

\end{array} \right.

\Longleftrightarrow

\left[\begin{array}{l}

\left\{\begin{array}{l}

x = \frac{2 + \sqrt{a + 3}}{2}, \\

\frac{2 + \sqrt{a + 3}}{2} \geqslant \frac{1}{2},

\end{array} \right.\\

\left\{\begin{array}{l}

x = \frac{2 - \sqrt{a + 3}}{2}, \\

\frac{2 - \sqrt{a + 3}}{2} \geqslant \frac{1}{2},

\end{array} \right.

\end{array} \right.

\Longleftrightarrow

\end{array} \begin{array}{l}

\qquad \Longleftrightarrow

\left[\begin{array}{l}

\left\{\begin{array}{l}

x = \frac{2 + \sqrt{a + 3}}{2}, \\

a \geqslant - 3,

\end{array} \right.\\

\left\{\begin{array}{l}

x = \frac{2 - \sqrt{a + 3}}{2}, \\

- 3 \leqslant a \leqslant - 2.

\end{array} \right.

\end{array} \right.

\end{array} Условие a\geqslant -3 возникает из неотрицательности подкоренного выражения. Таким образом, мы получили, что при - 3 \leqslant a \leqslant - 2 задача имеет два решения, x = \frac{2 + \sqrt{a + 3}}{2} и x = \frac{2 - \sqrt{a + 3}}{2} , а при a > -2 лишь одно решение x = \frac{2 + \sqrt{a + 3}}{2} .

Ответ если a \in (-\infty; - 3 ) , то нет решений; если a\in [- 3 ;- 2] , то x = \frac{2 \pm \sqrt{a+3}}{2} ; если a \in(- 2;\infty) , то x = \frac{2 + \sqrt{a+3}}{2} .

Ровно два решения будет при a\in[-3;-2] .

Задача 3.10.

Условие

Решите уравнение \sqrt{a-x^{2}} = x + 1, и найдите, при каких a имеется ровно 2 различных решения.

Решение

Возведем данное уравнение в квадрат, добавив условие неотрицательности правой части: \begin{array}{l}

\sqrt{a-x^2} = x + 1~ \Longleftrightarrow~

\left\{\begin{array}{l}

a-x^2 = x^2 +2x + 1, \\

x + 1 \geqslant 0,

\end{array} \right.

\Longleftrightarrow \\

\qquad \Longleftrightarrow

\left\{\begin{array}{l}

2x^2 +2x - (a - 1) = 0, \\

x \geqslant -1.

\end{array} \right.

\end{array} Найдем решения уравнения и подставим в условие x \geqslant -1 , чтобы выяснить, при каких значениях параметра a решение существует. \frac{D}{4}=2a-1\Longrightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{2a-1}}{2}\quad при \quad a\ge \frac{1}{2}. Тогда при условии a\ge \frac{1}{2} : \begin{array}{l}

\left\{\begin{array}{l}

x = \frac{-1 \pm \sqrt{2a -1}}{2}, \\

x \geqslant -1,

\end{array} \right.

\Longleftrightarrow

\left[\begin{array}{l}

\left\{\begin{array}{l}

x = \frac{-1 + \sqrt{2a -1}}{2}, \\

\frac{-1 + \sqrt{2a -1}}{2} \geqslant -1,

\end{array} \right.\\

\left\{\begin{array}{l}

x = \frac{-1 - \sqrt{2a -1}}{2}, \\

\frac{-1 - \sqrt{2a -1}}{2} \geqslant -1,

\end{array} \right.

\end{array} \right.

\Longleftrightarrow

\end{array} \begin{array}{l}

\left[\begin{array}{l}

\left\{\begin{array}{l}

x = \frac{-1 + \sqrt{2a -1}}{2}, \\

\sqrt{2a -1} \geqslant - 1,

\end{array} \right.\\

\left\{\begin{array}{l}

x = \frac{-1 - \sqrt{2a -1}}{2}, \\

\sqrt{2a -1} \leqslant 1.

\end{array} \right.

\end{array} \right.

\end{array}\Longleftrightarrow

\begin{array}{l}

\left[\begin{array}{l}

\left\{\begin{array}{l}

x = \frac{-1 +\sqrt{2a -1}}{2}, \\

a \geqslant \frac{1}{2},

\end{array} \right.\\

\left\{\begin{array}{l}

x = \frac{-1 - \sqrt{2a -1}}{2}, \\

\frac{1}{2} \leqslant a \leqslant 1.

\end{array} \right.

\end{array} \right.

\end{array} Таким образом, мы получили, что при \frac{1}{2} \leqslant a \leqslant 1 задача имеет два решения, x = \frac{-1 +\sqrt{2a -1}}{2} и x = \frac{-1 -\sqrt{2a -1}}{2} , а при a > 1 лишь одно решение x = \frac{-1 +\sqrt{2a -1}}{2} .

Ответ если a \in (-\infty;0,5) , то нет решений; если a\in [0,5;1] , то x = \frac{-1 \pm \sqrt{2a-1}}{2} ; если a \in( 1 ;+\infty) , то x = \frac{-1 + \sqrt{2a-1}}{2} .