Иррациональные неравенства Часть 1: Часть 1
Математика, 10 класс
Иррациональные неравенства Под иррациональным неравенством мы понимаем неравенство, содержащее неизвестные под знаком корня той или иной степени. Чаще всего встречаются неравенства с квадратным корнем...
Видео
Конспект
Иррациональные неравенства
Под иррациональным неравенством мы понимаем неравенство, содержащее неизвестные под знаком корня той или иной степени. Чаще всего встречаются неравенства с квадратным корнем.
Иррациональные неравенства, не требующие возведения в квадрат
Сначала рассмотрим простейшее иррациональное неравенство, не требующее возведения в степень.
Пример 2.1.
Условие
Решите неравенство \sqrt{ x +1}\left(x^2+3x-4 \right) \geqslant 0 .
Решение
Очевидно, что если подкоренное выражение неотрицательно, то есть квадратный корень существует, то \sqrt{ x +1}\geqslant 0 . Следовательно, в этом случае знак произведения будет определяться знаком квадратного трехчлена. Важно при этом не забыть, что x+1\geqslant 0 . Также, в силу того, что неравенство нестрогое, имеется еще одно решение: x=-1 , которое превращает неравенство в верное соотношение независимо от другого множителя. \left [ \begin{array}{l}
x=-1,\\
\sqrt{ x +1}\left(x^2+3x-4 \right) \geqslant 0, \Longleftrightarrow
\end{array}\right.
\left [ \begin{array}{l}
x=-1,\\
\left \{
\begin{array}{l}
x+1\geqslant 0,\\
x^2+3x-4\geqslant 0,
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow \vphantom{\int\limits_1}\\ \left [ \begin{array}{l}
x=-1,\\
\left \{ \begin{array}{l}
x\geqslant -1,\\
(x+4)(x-1)\geqslant 0,
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow
\left [ \begin{array}{l}
x=-1,\\
\left \{\begin{array}{l}
x+1\geqslant 0,\\
\left [ \begin{array}{l}
x\geqslant 1,\\
x\leqslant -4,
\end{array}\right.\\
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow
\left [ \begin{array}{l}
x\geqslant 1,\\
x=-1.
\end{array}\right.\\ Еще раз подчеркнем, что хотя x=-1 не попадает в область, где квадратный трехчлен неотрицателен, но это значение переменной является решением нестрогого неравенства, так как обращает \sqrt{x+1} в нуль.
Ответ \{-1\} \cup [1;+\infty) .
Задача 2.2.
Условие
Решите неравенство \sqrt{1-x}\left(x^2-5x-6 \right) \geqslant 0 .
Решение
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: x\le 1 . Тогда неравенство выполняется если x^2-5x-6\geqslant 0\Longleftrightarrow x\in(-\infty;-1]\cup[6;+\infty). С учетом ограничений получаем ответ.
Ответ (-\infty;- 1]\cup \{1\}.
Следующий пример похож на предыдущий, но здесь два одинаковых квадратных корня в левой и правой частях.
Пример 2.3.
Условие
Решите неравенство \frac{\sqrt{6 + x - x^2}}{2x + 5} \geqslant \frac{\sqrt{6 + x - x^2}}{x + 4}.
Решение
Возникает идея разделить обе части неравенства на этот корень. Не поддадимся соблазну, ведь это приведет к изменению области определения (да и сам корень может быть равен нулю)! Перенесем выражение из правой части в левую и вынесем корень за скобки. Потом учтем, что подкоренное выражение должно быть неотрицательно, и отдельно рассмотрим случай равенства корня нулю (деление на нуль не определено!). \frac{\sqrt{6 + x - x^2}}{2x + 5} \geqslant \frac{\sqrt{6 + x -
x^2}}{x + 4}\Longleftrightarrow \sqrt{6 + x -
x^2}\left(\frac{1}{2x + 5}-\frac{1}{x + 4} \right)\geqslant 0 \Longleftrightarrow
\left [ \begin{array}{l}
x=3,\\
x=-2,\\
\left \{ \begin{array}{l}
-2 < x< 3,\\
\frac{-x-1}{(2x+5)(x+4)}\geqslant 0,
\end{array}\right.
\end{array}\right.\\\Longleftrightarrow
\left [ \begin{array}{l}
x=3,\\
x=-2,\\
\left \{ \begin{array}{l}
-2 < x<3,\\
\left [ \begin{array}{l}
x<-4,\\
-\frac{5}{2} < x \leqslant -1.
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\end{array}\right.\\ Применяя метод интервалов, получаем ответ.
Ответ \left[- 2, - 1 \right] \cup \{ 3 \} .
Задача 2.4.
Условие
Решите неравенство \frac{\sqrt{x + 1 -2 x^2}}{x + 1} \geqslant \frac{\sqrt{x + 1 -2 x^2}}{3x -2}.
Решение
Сначала рассмотрим случай равенства нулю подкоренного выражения: x+1-2x^2=0\Longleftrightarrow x_1=1; x_2=-\frac{1}{2}.
Так как неравенство нестрогое, то эти значения переменной удовлетворяют неравенству. Теперь рассмотрим случай x+1-2x^2>0 , тогда обе части неравенства можно разделить на положительное выражение \sqrt{x + 1 -2 x^2} и свести к системе неравенств \left \{ \begin{array}{l}
x+1-2x^2>0,\\
\frac{1}{x+1}\geqslant \frac{1}{3x-2},
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left \{ \begin{array}{l}
x>-\frac{1}{2},\\
x<1,\\
\frac{2x-3}{(x+1)(3x-2)}\geqslant 0.
\end{array}\right. Решаем систему методом интервалов: x\in \left(- \frac{1}{2}; \frac{2}{3} \right) . Далее объединяем все результаты и получаем ответ.
Ответ \left[ - \frac{1}{2}; \frac{2}{3} \right) \cup \left\{ 1 \right\} .