Иррациональные уравнения Часть 2: Часть 1

Видео

Конспект

Уравнения с кубической иррациональностью

Уравнения, содержащие корни третьей степени, с одной стороны, решать сложнее, так как чаще всего приходится возводить выражения в куб. С другой стороны, проще, так как не нужно накладывать условия на подкоренное выражение: кубический корень можно извлекать и из отрицательного числа.

Пример 1.12.

Условие

Решите уравнение \sqrt[3]{15+2x} + \sqrt[3]{13-2x}= 4 .

Решение

Возведем обе части данного уравнения в куб, используя формулу: (a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2=a^3+b^3+3ab(a+b). Тогда \begin{array}{l}

\sqrt[3]{15+2x}+ \sqrt[3]{13-2x}= 4\Longrightarrow \vphantom{\int}\\

\qquad \Longrightarrow 15+2x+13-2x+3 \sqrt[3]{(15+2x)(13-2x)}\cdot4=64.

\end{array} Здесь сумма кубических корней заменена числом 4 в соответствии с исходным уравнением. Итак, \begin{array}{l}

\sqrt[3]{(15+2x)(13-2x)}=3\Longleftrightarrow

(15+2x)(13-2x)=27\Longleftrightarrow \vphantom{\int} \\

\qquad \Longleftrightarrow x^2+x-42=0.

\end{array} Оба корня x=6 и x=-7 удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ 6;-7 .

Отметим, что предыдущую задачу можно было бы решить и другим способом: ввести новую переменную \sqrt[3]{15+2x} , но этот подход будет рассмотрен ниже на другом примере.

Задача 1.13.

Условие

Решите уравнение \sqrt[3]{x+34}- \sqrt[3]{x-3}= 1 .

Решение

Возведем уравнение в куб, при этом воспользуемся приведенной выше формулой: \sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+1} =3\Longleftrightarrow x+34-x+3-3-3\sqrt[3]{x+34}\sqrt[3]{x-3}=1\Longleftrightarrow 36=3\sqrt[3]{x+34}\sqrt[3]{x-3}\Longleftrightarrow 12^3=x^2+31x-102. Решаем последнее квадратное уравнение и получаем решения x=-61;

\quad x=30 .

Ответ -61 ; 30 .

Пример 1.14.

Условие

Решите уравнение \sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+1} =3 .

Решение

Воспользуемся методом замены переменной. В качестве новой переменной выберем t=\sqrt[3]{x-2} , оставляя квадратный корень, так как с квадратными корнями мы лучше умеем работать: \sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+1} =3\Longleftrightarrow

t+\sqrt{t^3+3}=3\Longleftrightarrow \sqrt{t^3+3}=3-t. Функция в левой части последнего уравнения - возрастающая, в правой - убывающая, поэтому если корень существует, то только один. Непосредственной проверкой можно убедиться, что t=1 есть корень. Возвращаясь к исходной переменной, получаем ответ.

Ответ 3 .

Задача 1.15.

Условие

Решите уравнение методом замены переменной \sqrt[3]{1+\sqrt{x}}+ \sqrt[3]{1-\sqrt{x}}= 2 .

Решение

Введем переменную t=\sqrt[3]{1+\sqrt{x}} . Тогда 1+\sqrt x =t^3; \quad 1-\sqrt x=2-t^3. Уравнение принимает вид t+2-t^3=2\Longleftrightarrow t(1-t^2)=0. Отсюда либо t=0\Longleftrightarrow \sqrt x+1=0, где нет решений, либо (1+\sqrt x)^{\frac{2}{3}}=1\Longleftrightarrow x=0 .

Ответ 0 .