Иррациональные уравнения Часть 2: Часть 2

Видео

Конспект

Решение иррациональных уравнений без возведения в квадрат

При решении ряда задач, содержащих иррациональные выражения, можно обойтись без возведения в степень; вместо этого учитываются ограничения на подкоренное выражение или монотонность функций.

В следующем примере условие существования квадратного корня работает как дополнительное условие, ограничивающее множество решений. Возводить в квадрат не нужно!

Пример 1.16.

Условие

Решите уравнение \left(16 - x^2 \right) \sqrt{3-x} = 0 .

Решение

\left(16 - x^2 \right) \sqrt{3-x} = 0~~\Longleftrightarrow~~

\left\{\begin{array}{l}

3-x\geqslant 0, \\

\left[\begin{array}{l}

x=\pm 4, \\

x=3\\

\end{array} \right.

\end{array} \right.~~\Longleftrightarrow~~

\left[\begin{array}{l}

x= -4, \\

x=3.\\

\end{array} \right. Ответ - 4; 3 .

Задача 1.17.

Условие

Решите уравнение \left(x^2-2x \right)\sqrt{6-x^2-5x} =0 .

Решение

В этой задаче тоже либо первый, либо второй множитель равен нулю, но второй накладывает условия на существование решения x^2-2x=0 : \left(16 - x^2 \right) \sqrt{3-x} = 0~~\Longleftrightarrow~~

\left[\begin{array}{l}

\left\{\begin{array}{l}

x^2-2x=0, \\

6-5x-x^2\geq 0,

\end{array} \right.\\

6-5x-x^2= 0, \\

\end{array} \right. С учетом условий -6\leq x \leq 1 , вытекающих из неравенства в системе, получаем, что подходят x=0, x=1 и x=-6 .

Ответ 0;~~ -6;~~ 1 .

Пример 1.18.

Условие

Решите уравнение \sqrt{x} + \sqrt{x+3} = 6 - \sqrt{x+8}.

Решение

Первая мысль о методе решения, которая возникает при взгляде на эту задачу - обычное возведение в квадрат. Но корней здесь три - и поэтому такое возведение ни к чему хорошему не приведет. (Кому не лень - проверьте на досуге). Здесь удается решить задачу с помощью учета свойств функций и небольшой сообразительности. Как легко заметить (надеемся, что легко!), x=1 является решением уравнения. А затем отметим, что в левой части уравнения стоит возрастающая функция, а в правой - убывающая. Очевидно, что у графиков этих функций может быть не более одной точки пересечения, а ее мы уже нашли. Таким образом, получаем ответ.

Ответ 1 .

Задача 1.19.

Условие

Решите уравнение \sqrt{3x^2 + 6x + 7} + \sqrt{5x^2 + 10x + 14} = 4 - 2x -x^2.

Решение

Введем новую переменную t=x^2+2x . Тогда уравнение приобретет вид \sqrt{3t + 7} + \sqrt{5t + 14} = 4 - t. Отметим, что левая часть уравнения –это сумма двух возрастающих функций, а правая - убывающая функция. Очевидно, что у графиков этих функций может быть не более одной точки пересечения, ее мы найдем подбором, это t=-1 . Теперь найдем x из уравнения x^2+2x+1=0 . Это x=-1 .

Ответ - 1 .

В следующем примере решение ищется с помощью преобразований подкоренных выражений и учета свойств функций, входящих в уравнения.

Пример 1.20.

Условие

Решите уравнение \sqrt{4x - x^2} + \sqrt{4x - x^2 - 3} = 3 + \sqrt{2x - x^2} .

Решение

\sqrt{4x - x^2} + \sqrt{4x - x^2 - 3} = 3 + \sqrt{2x -

x^2}~~\Longleftrightarrow~~ \sqrt{4 - (x - 2)^2} + \sqrt{1 - (x - 2)^2} = 3 + \sqrt{x(2 -

x)}~~\Longleftrightarrow~~ x = 2, так как f(x) = \sqrt{4 - (x - 2)^2} + \sqrt{1 - (x - 2)^2} \leqslant f(2)=3, а g(x) = 3 + \sqrt{x(2 - x)} \geqslant g(2) = 3

Ответ 2 .

Задача 1.21.

Условие

Решите уравнение \sqrt{x^4 -6x^2+10} + \sqrt{x^4 -6 x^2 +13} = 3 - \sqrt{x^4-2 x^2-3}.

Решение

\sqrt{x^4 -6x^2+10} + \sqrt{x^4 -6 x^2 +13} = 3 - \sqrt{x^4-2 x^2-3}\Longleftrightarrow \sqrt{(x^2 -3)^2+1} + \sqrt{(x^2 -3)^2 +4} = 3 - \sqrt{(x^2-1)^2-4}. Учитывая что (x^2 -3)^2\geq 0 , выражение в левой части уравнения не может быть меньше \sqrt 1 +\sqrt 4=3 , а выражение в левой части не может быть больше 3. Следовательно, равенство возможно только если x^2=3 . Тогда левая часть равна 3, но и правая часть равна 3 при x^2=3 .

Ответ \pm \sqrt{3} .