Иррациональные уравнения Часть 2: Часть 4

Видео

Конспект

Использование сопряженных выражений

Определение 1.1.

Выражением, сопряженным выражению \sqrt a + \sqrt b , назовем \sqrt a - \sqrt b .

Иногда для решения задач, содержащих иррациональные уравнения и неравенства, используется формула \left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) = a - b, которую удобно применять, так как в результате умножения получается выражение без иррациональностей. Естественно, на сопряженное выражение приходится умножать обе части уравнения или числитель и знаменатель дроби.

Рассмотрим задачу, в которой нам поможет формула (1.6).

Пример 1.26.

Условие

Решите уравнение \frac{1}{x-\sqrt{x^2 -x}} - \frac{1}{x+\sqrt{x^2 -x}} = \sqrt{3}.

Решение

Отметим, что знаменатель не может быть равен нулю, и подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Но не будем выписывать эти условия, а предполагая, что они выполняются, решим уравнение и посмотрим на корни - может быть, их будет несложно проверить подстановкой.

\frac{1}{x-\sqrt{x^2 -x}} - \frac{1}{x+\sqrt{x^2 -x}} =\sqrt{3}\Longleftrightarrow \vphantom{\int\limits_1}\\

\frac{x+\sqrt{x^2 -x}-\left(x-\sqrt{x^2 -x } \right)}{\left( x - \sqrt{x^2 -x} \right) \left( x + \sqrt{x^2 - x} \right)} = \sqrt{3}\Longleftrightarrow

\qquad \frac{2\sqrt{x^2-x}}{x}=\sqrt{3} \Longrightarrow 4x^2-4x=3x^2\Longleftrightarrow x(x-4)=0. Корни оказались целыми! Очевидно, что x=0 не подходит, а x=4 является решением задачи.

Ответ 4 .

Задача 1.27.

Условие

Решите уравнение \frac {\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}+

\frac {\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}=4\sqrt{x^2-1}.

Решение

Уравнение имеет смысл при |x|\ge 1 . Далее преобразования выполняются при этом условии. Умножим обе дроби в левой части уравнения на выражения, сопряженные к знаменателям каждой из них, и получим: \frac{\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\right)^2}{x^2+1-x^2+1}+\frac{\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right)^2}{x^2+1-x^2+1}=4\sqrt{x^2-1}\Longleftrightarrow \frac{2x^2+2\sqrt{x^4-1}+2x^2-2\sqrt{x^4-1}}{2}=4\sqrt{x^2-1}\Longleftrightarrow x^2=2\sqrt{x^2-1}. Возводим уравнение в квадрат и получаем X^4-4x^2+4=0 , откуда x=\pm\sqrt 2.

Ответ \pm \sqrt{2} .

Пример 1.28.

Условие

Найдите наименьшее значение функции y= \sqrt{3x^2+5}- \sqrt{3x^2} на отрезке [0;3] .

Решение

Наименьшее значение непрерывной функции может достигаться либо в точке минимума, либо на границе отрезка. Для того, чтобы понять, как ведет себя функция, умножим и разделим y на сопряженное выражение: \begin{array}{l}

y = \sqrt{3x^2+5} - \sqrt{3x^2} = \\

\qquad = \frac{ \left( \sqrt{3x^2+5} \right)^2 -

\left( \sqrt{3x^2} \right)^2} {\sqrt{3x^2+5} + \sqrt{3x^2}} =

\frac{5}{\sqrt{3x^2+5}+ \sqrt{3x^2}}.

\end{array} Теперь очевидно, что y(x) на [0;3] является убывающей функцией (знаменатель - функция возрастающая), поэтому наименьшее значение функции достигается при наибольшем значении аргумента. y_{min}=y(3)=\sqrt{3\cdot 3^2+5}- \sqrt{3\cdot3^2} =

4\sqrt{2}-3\sqrt{3}.

Поведение функции можно также исследовать с помощью производной. На отрезке [0,3] функция имеет вид: y(x) = \sqrt{3x^2+5} - \sqrt{3} x, ее производная y'(x) = \frac{3x}{\sqrt{3x^2 + 5}} - \sqrt{3} =

\frac{3x - \sqrt{9x^2 + 15}}{\sqrt{3x^2 + 5}} < 0. Поскольку производная всюду отрицательна, то функция является убывающей, и минимальное значение достигается в правой граничной точке, то есть при x = 3 : y_{min}=y(3)=\sqrt{3\cdot 3^2+5}- \sqrt{3\cdot3^2} =

4\sqrt{2}-3\sqrt{3}.

Ответ 4\sqrt{2}-3\sqrt{3} .

Задача 1.29.

Условие

Найдите наименьшее значение функции y= \sqrt{8x^2+7}- \sqrt{8x^2} на отрезке [1;2] .

Решение

Для того, чтобы понять, как ведет себя функция, умножим и разделим y на сопряженное выражение к разности корней: \begin{array}{l}

y = \sqrt{8x^2+7} - \sqrt{8x^2} = \\

\qquad = \frac{ \left( \sqrt{8x^2+7} \right)^2 -

\left( \sqrt{8x^2} \right)^2} {\sqrt{8x^2+7} + \sqrt{8x^2}} =

\frac{7}{\sqrt{8x^2+7}+ \sqrt{8x^2}}.

\end{array} Теперь очевидно, что y(x) на [1;2] является убывающей функцией (знаменатель - функция возрастающая), поэтому наименьшее значение функции достигается при наибольшем на промежутке значении аргумента x=2 . y_{min}=y(2)=\sqrt{8\cdot 2^2+7}- \sqrt{8\cdot2^2} =

\sqrt{39}-4\sqrt{2}.

Ответ \sqrt{39}-4\sqrt{2} .