Иррациональные уравнения Часть 2: Часть 3
Математика, 10 класс
Иррациональные уравнения вида \sqrt{f(x)}=\sqrt {g(x)} Пример 1.22. Условие Решите уравнение \sqrt{x^4-10x^2+25}= \sqrt{x^4-4x^2+4} . Решение В этой задаче поможет метод <<пристального взгляда>>: кажд...
Видео
Конспект
Иррациональные уравнения вида \sqrt{f(x)}=\sqrt {g(x)}
Пример 1.22.
Условие
Решите уравнение \sqrt{x^4-10x^2+25}= \sqrt{x^4-4x^2+4} .
Решение
В этой задаче поможет метод <<пристального взгляда>>: каждое из подкоренных выражений представляют собой полный квадрат, поэтому ограничения на подкоренные выражения не нужны. Возводим в квадрат и получаем \begin{array}{l}
\sqrt{x^4-10x^2+25}=
\sqrt{x^4-4x^2+4} \Longleftrightarrow \\
\Longleftrightarrow x^4-10x^2+25=x^4-4x^2+4 \Longleftrightarrow
6x^2=21\Longleftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{7}{2}}.
\end{array} Можно было сразу воспользоваться тем, что \sqrt{a^2}=|a| :
\begin{array}{l}
\sqrt{x^4-10x^2+25}=
\sqrt{x^4-4x^2+4}\Longleftrightarrow
\left| x^2 - 5 \right| = \left| x^2 - 2 \right|
\Longleftrightarrow \vphantom{\int\limits_1}\\
\qquad \Longleftrightarrow \left[
{\begin{array}{l}
x^2-5 = x^2-2,\\
x^2-5 = -x^2+2. \\
\end{array}} \right.
\end{array} Первое уравнение решений не имеет, а второе дает x=\pm \sqrt{\frac{7}{2}}.
Ответ \pm \sqrt{\frac{7}{2}}.
Задача 1.23.
Условие
Решите уравнение \sqrt{x^4+2x^2+1}= \sqrt{x^4-12x^2+36} .
Решение
\sqrt{x^4+2x^2+1}= \sqrt{x^4-12x^2+36}
\sqrt{(x^2+1)^2}= \sqrt{(x^2-6)^2}. Значит, подкоренные выражения всегда неотрицательны, можно без дополнительных условий возвести уравнение в квадрат и получить x^4+2x^2+1=x^4-12x^2+36\Longleftrightarrow 14x^2=35\Longleftrightarrow x^2=\frac{5}{2}.
Отсюда нетрудно найти x= \pm \sqrt{\frac{5}{2}} .
Ответ \pm \sqrt{\frac{5}{2}} .
Следующее уравнение вида (1.3), оно решается по схеме (1.4).
Пример 1.24.
Условие
Решите уравнение \sqrt{x^3+2x^2-6x-9} = \sqrt{x^2-x-12}.
Решение
В соответствии с (1.4) запишем систему из уравнения и неравенства, выбрав более простое подкоренное выражение для ограничений: \begin{array}{l}
\sqrt{x^3+2x^2-6x-9}=\sqrt{x^2-x-12}\Longleftrightarrow \\
\left\{
{\begin{array}{l}
x^3+2x^2-6x-9 = x^2-x-12,\\
x^2-x-12 \geqslant 0, \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow \\
\left\{
{\begin{array}{l}
x^3+2x^2-6x-9 = x^2-x-12,\\
x^2-x-12 \geqslant 0 ,\\
\end{array}} \right. \hskip-1mm\Longleftrightarrow \hskip-1mm \vphantom{\int\limits_1^2}
\left\{
{\begin{array}{l}
x^3+x^2-5x+3 =0,\\
(x+3)(x-4) \geqslant 0, \\
\end{array}} \right. \\
\Longleftrightarrow
\left\{
{\begin{array}{l}
(x-1)(x-1)(x+3) =0,\\
(x+3)(x-4) \geqslant 0.\\
\end{array}} \right.
\end{array} Здесь первый корень кубического уравнения ищется подбором среди делителей свободного члена, получается x=1 . Затем делим многочлен на x-1 и остальные корни x=1 и x=-3 находим, решая квадратное уравнение. Ограничениям не удовлетворяет x=1 .
Ответ -3.
Задача 1.25.
Условие
Решите уравнение \sqrt{x^4-x^3-5x^2-6x+1} = \sqrt{x^4+(x+3)^2}.
Решение
Возведем обе части уравнения в квадрат и получим x^4-x^3-5x^2-6x+1 =x^4+x^2+6x+9\Longleftrightarrow x^3+6x^2+12x+8=0\Longleftrightarrow(x+2)^3=0.
Ответ -2 .