Иррациональные уравнения Часть 3: Часть 1

Видео

Конспект

Использование свойств конкретной задачи

В этом разделе рассматриваются задачи, в которых помимо обычных приемов решения иррациональных уравнений существенно учитываются особенности рассматриваемых выражений.

Пример 1.30.

Условие

Решите уравнение \sqrt{x+2} - \sqrt{x-1} = \sqrt{2x-3} .

Решение

Можно было бы перенести \sqrt{x-1} из левой части в правую и получить неотрицательные выражения в обеих частях уравнения, после чего приступить к возведению в квадрат. Однако здесь удобнее возвести в квадрат исходное уравнение. Действительно, при условии неотрицательности подкоренных выражений верно соотношение \sqrt{x+2}> \sqrt{x-1} , так как x+2 при всех значениях x больше, чем x-1 . То есть обе части уравнения неотрицательны, значит, при возведении в квадрат получим уравнение, эквивалентное исходному на ОДЗ: \sqrt{x+2} - \sqrt{x-1} = \sqrt{2x-3} \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}

x+2+x-1-2\sqrt{(x+2)(x-1)}=2x-3,\\

x\geqslant -2,\\

x\geqslant 1,\\

x\geqslant \frac{3}{2}.\\

\end{array} \right. Теперь ясно, почему оказалось выгоднее не переносить корень направо: после возведения в квадрат слагаемые с x , стоящие вне радикалов, взаимно уничтожились и уравнение оказалось совсем простым. \left\{\begin{array}{l}

\sqrt{x^2+x-2}=2,\\

x\geqslant \frac{3}{2},\\

\end{array} \right. \Longleftrightarrow

\left\{\begin{array}{l}

x^2+x-6=0,\\

x\geqslant \frac{3}{2},\\

\end{array} \right. \Longleftrightarrow

x=2.

Ответ 2 .

Задача 1.31.

Условие

Решите уравнение \sqrt{x-2} - \sqrt{2x+2} = \sqrt{2x - 5}-\sqrt{3x-1} .

Решение

\sqrt{x-2} - \sqrt{2x+2} = \sqrt{2x - 5}-\sqrt{3x-1}\Longleftrightarrow \sqrt{x-2} +\sqrt{3x-1} = \sqrt{2x + 2} + \sqrt{2x+5}. В полученном уравнении и левая,и правая части неотрицательны, поэтому можно возвести квадрат, добавив условие 2x-5 \ge 0 , которое гарантирует, что се подкоренные выражения неотрицательны. Тогда получим x-2+3x-1+2\sqrt{(x-2)(3x-1)}= =2x + 2 +2x+5+ 2\sqrt{(2x+2)(2x+5)}\Longleftrightarrow 2\sqrt{(x-2)(3x-1)}=2\sqrt{(2x+2)(2x+5)}\Longleftrightarrow 3x^2-7x+2=4x^2-6x-10. У полученного квадратного уравнения x^2+x-12=0 есть два решения: x=-4 , которое не удовлетворяет условию, и x=3 .

Ответ 3 .

Пример 1.32.

Условие

Решите уравнение 3x - 2 \left| x - 2 \right| = 3\sqrt{3x +18} - 2 \left| \sqrt{3x +18} - 2 \right|.

Решение

<<Пристальный взгляд>> быстро увидит, что в этом уравнении слева и справа стоят одинаковые конструкции, но от различных аргументов. Действительно, если ввести функцию f(x)=3x-2|x-2| , то слева в уравнении окажется f(x) , а справа f\left( \sqrt{3x+18} \right) . Значит, \begin{array}{l}

3x-2\left| x - 2 \right| = 3\sqrt{3x +18} - 2 \left| \sqrt{3x +18}-2 \right|\Longleftrightarrow \\

\qquad f(x)=f \left( \sqrt{3x+18} \right).

\end{array} Теперь изучим свойства этой функции. f(t)=3t-2|t-2|=\left\{ \begin{array}{l}

t+4,~~ t \geqslant 2, \\

5t -4, ~~t < 2.

\end{array}\right. Функция f(t) для обоих промежутков является возрастающей, следовательно, если равны значения функции, то равны и значения соответствующих аргументов: \begin{array}{l}

x=\sqrt{3x+18}\Longleftrightarrow

\left\{ \begin{array}{l}

x^2=3x+18, \\

x \geqslant 0,

\end{array}\right. \Longleftrightarrow \\

\qquad\left\{ \begin{array}{l}

( x-6)(x+3)=0, \\

x \geqslant 0,

\end{array}\right. \Longleftrightarrow

x=6.

\end{array}

Ответ 6 .

Задача 1.33.

Условие

Решите уравнение (2x+1)\sqrt{7+(2x + 1)^2} + x \sqrt{x^2 +7} =0.

Решение

Воспользуемся монотонностью функции f(t)=t\sqrt{t^2+7} и ее нечетностью: f(2x+1)=-f(x)\Longleftrightarrow2x+1=-x\Longleftrightarrow x=-\frac{1}{3}.

Ответ -\frac{1}{3} .