Иррациональные уравнения Часть 3: Часть 3
Математика, 10 класс
Иррациональные уравнения, содержащие модули или тригонометрические функции Пример 1.36. Условие Решите уравнение 2 + \sqrt{x+5} = |x+3| . Решение Наличие модуля в этой задаче создает дополнительные те...
Видео
Конспект
Иррациональные уравнения, содержащие модули или тригонометрические функции
Пример 1.36.
Условие
Решите уравнение 2 + \sqrt{x+5} = |x+3| .
Решение
Наличие модуля в этой задаче создает дополнительные технические сложности, хотя принципиально нового подхода не требуется. Приводим уравнение к задаче вида (1.1), которая решается по схеме (1.2). Модуль будем раскрывать стандартным образом. 2 + \sqrt{x+5} = |x+3|\Longleftrightarrow
\left\{
{\begin{array}{l}
x+5 = (|x+3|-2)^2, \\
|x+3|-2 \geqslant 0, \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x+3 \geqslant 0,\\
x+5 = (x+1)^2,\\
x+1\geqslant 0,
\end{array}\right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x+3<0,\\
x+5 =(-x-5)^2,\\
-x-5 \geqslant 0,
\end{array}\right.
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \geqslant -3,\\
x^2+x-4 =0,\\
x\geqslant -1,
\end{array}\right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x<-3,\\
x+5 =(-x-5)^2\geqslant 0,\\
x+5 \leqslant 0.
\end{array}\right.
\end{array}\right. В первой системе совокупности надо решить квадратное уравнение и выбрать те корни, которые больше или равны -1 . Решение второй системы упрощается тем, что x+5 одновременно не меньше нуля, но и не больше его. Следовательно x+5=0 .
Ответ - 5 ; \frac{-1+\sqrt{17}}{2} .
Задача 1.37.
Условие
Решите уравнение 2\sqrt{2x-8}-3=|x-7| .
Решение
2\sqrt{2x-8}-3=|x-7|\Longleftrightarrow 2\sqrt{2x-8}=|x-7|+3. После возведения в квадрат получаем 4(2x-8)=9+x^2-14x+9+6|x-7|.
Рассмотрим сначала область x\ge 7 . В этом случае получаем x^2-16x+48=0 , и из решений x=12, x-4 условию x\ge 7 удовлетворяет только x=12 .
Далее рассмотрим x\le 7 . Тогда x^2-28x +132=0 , и из решений x=22, x=6 подходит только x=6 .
Ответ 6;~~12 .
Пример 1.38.
Условие
Решите уравнение \sqrt{3|x|+4-x^2}+1 = |x| .
Решение
При решении этой задачи важно вспомнить, что x^2=|x|^2 . С учетом этого, задача решается по типу простейших иррациональных уравнений. \begin{array}{l}
\sqrt{3|x|+4-x^2}+1 = |x|\Longleftrightarrow
\sqrt{3|x|+4-|x|^2} = |x|-1\Longleftrightarrow \\
\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
| x |\geqslant 1,\\
2|x|^2-5|x|-3 =0,
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
| x |\geqslant 1,\\
\left( 2|x| + 1 \right) \left( |x| - 3 \right) = 0,
\end{array}\right.\Longleftrightarrow\\
\qquad \Longleftrightarrow
|x|=3\Longleftrightarrow x=\pm 3.
\end{array}
Ответ \pm 3.
Задача 1.39.
Условие
Решите уравнение 1-\sqrt{|6x+12|+1}=|x+2| .
Решение
Введем новую переменную t=|x+2|,\quad t\ge 0 . Тогда уравнение примет вид 1-\sqrt{6t+1}=t\Longleftrightarrow\sqrt{6t+1}=1-t. \left\{\begin{array}{l}
6t+1 = t^2-2t+1,\\
1-t\ge 0, \\
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
t^2t-8t = 0,\\
t\le 1. \\
\end{array}\right. Решением системы является t=0 , или x=2 .
Ответ 2 .