Иррациональные уравнения Часть 3: Часть 4
Математика, 10 класс
В следующем примере под знаком радикала тригонометрические функции. Пример 1.40. Условие Найдите все значения x , удовлетворяющие неравенству 0\leqslant x <\pi и являющиеся решениями уравнения \sqrt{\...
Видео
Конспект
В следующем примере под знаком радикала тригонометрические функции.
Пример 1.40.
Условие
Найдите все значения x , удовлетворяющие неравенству 0\leqslant x <\pi и являющиеся решениями уравнения \sqrt{\tg 3x}= \sqrt{-\tg x} .
Решение
С точки зрения иррациональности это уравнение вида (1.3). Будем решать уравнение по схеме (1.4) с учетом области допустимых значений входящих в него функций:
\left\{ {\begin{array}{l}
\sqrt{\tg 3x}= \sqrt{-\tg x}, \\
0\leqslant x <\pi, \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\left\{ {\begin{array}{l}
\tg 3x= -\tg x,\\
-\tg x \geqslant 0,\\
0\leqslant x <\pi, \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l}
3x= - x+\pi n,~~ n \in \mathbb{Z} ,\\
-\tg x \geqslant 0,\\
0\leqslant x <\pi, \\
\cos 3x\ne 0,
\end{array}} \right. \Longleftrightarrow
\left\{{\begin{array}{l}
x= \frac{\pi n}{4},~~ n \in \mathbb{Z}, \\
\left[ {\begin{array}{l}
\frac{\pi}{2}\leqslant x <\pi ,\\
x =0, \\
\end{array}} \right. \\
x\ne \frac{\pi}{2}, \\
x \ne \frac{5\pi}{6},
\end{array}} \right. \Longleftrightarrow
\left [ {\begin{array}{l}
x = 0,\\
x= \frac{3\pi}{4}.
\end{array}} \right.
Ответ 0; \frac{3\pi}{4} .
Задача 1.41.
Условие
Найдите все значения x , удовлетворяющие неравенству -\pi\leqslant x <\pi и являющиеся решениями уравнения \frac{1}{\sqrt{-2\sin x}}= \sqrt{-2\cos x}.
Решение
\left\{ {\begin{array}{l}
\frac{1}{\sqrt{-2\sin x}}= \sqrt{-2\cos x}, \\
-\pi\leqslant x <\pi, \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\left\{ {\begin{array}{l}
2\sin 2x= 1,\\
-\sin x > 0,\\
-\cos x \geqslant 0,
\\ -\pi\leqslant x <\pi, \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{l}
2x= \frac{\pi}{3}+2\pi n,~~ n \in \mathbb{Z} ,\\
2x= \frac{2\pi}{3}+2\pi n,~~ n \in \mathbb{Z} ,
\end{array}} \right.\\
\sin x< 0,\\
\cos x \geqslant 0,\\
-\pi\leqslant x <\pi, \\
\end{array}} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x= \frac{5\pi}{6}+2\pi n,~~ n \in \mathbb{Z} ,\\
-\pi\leqslant x <\pi.
\end{array} \right.\\ Оставляя решения из заданного промежутка -\pi\leqslant x <\pi , получаем ответ.
Ответ -\frac{11\pi}{12} ; -\frac{7\pi}{12} .