Иррациональные неравенства Часть 3: Часть 1
Математика, 10 класс
Неравенства вида \frac{\sqrt{f(x)}}{h(x)}\leqslant g(x) и \frac{\sqrt{f(x)}}{h(x)} \geqslant g(x) Такие неравенства, или легко приводящиеся к ним, встречаются довольно часто. Решение неравенства своди...
Видео
Конспект
Неравенства вида \frac{\sqrt{f(x)}}{h(x)}\leqslant g(x) и \frac{\sqrt{f(x)}}{h(x)} \geqslant g(x)
Такие неравенства, или легко приводящиеся к ним, встречаются довольно часто. Решение неравенства сводится к решению неравенств (2.1) и (2.3). Для этого сначала переносим выражение, стоящее в правой части, налево, а затем приводим все к общему знаменателю. Тогда неравенство эквивалентно совокупности систем, в каждой из которых есть иррациональное неравенство.
Пример 2.26.
Условие
Решите неравенство \frac{\sqrt{9 + 4x - x^2 }}{ 3-x} < 1 .
Решение
При решении такого неравенства часто возникает идея умножить обе его части на знаменатель дроби и свести его к неравенству вида \sqrt{f(x)}<g(x) , при этом забывают исследовать знак знаменателя. Будьте внимательны, умножать на отрицательное выражение и не менять знак неравенства нельзя!
Рассмотрим два случая: если знаменатель меньше нуля, то слева стоит отрицательное число, оно всегда меньше положительной правой части. Если знаменатель больше нуля, то можно на него умножать, сохраняя знак неравенства. Отметим, что равняться нулю знаменатель не может. \frac{\sqrt{9 + 4x - x^2 }}{3-x} < 1 \Longleftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
3-x < 0,\\
9+ 4x-x^2 \geqslant 0,
\end{array}\right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
3-x>0,\\
9+ 4x-x^2 \geqslant 0,\\
9+ 4x-x^2< (3-x)^2.
\end{array}\right.
\end{array}\right. Обратите внимание, что в обоих случаях необходимо добавить условие неотрицательности подкоренного выражения. Решим полученную совокупность систем: \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x >3, \\
2-\sqrt{13} \leqslant x\leqslant 2+\sqrt{13},
\end{array}\right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x<3,\\
2-\sqrt{13} \leqslant x\leqslant 2+\sqrt{13},\\
2x^2-10x>0,
\end{array}\right.
\end{array}\right.\hskip-3mm\Longleftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
3< x\leqslant 2+\sqrt{13}, \\
\left\{ \begin{array}{l}
x<3,\\
2-\sqrt{13} \leqslant x\leqslant 2+\sqrt{13},\\
x(x-5)>0,
\end{array}\right.
\end{array}\right. \Longleftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
3< x\leqslant 2+\sqrt{13}, \\
2-\sqrt{13} \leqslant x<0.
\end{array}\right.
В ответе получаем два промежутка.
Ответ \left[2 -\sqrt{13}; 0 \right) \cup \left(3; 2 + \sqrt{13}\right] .
Задача 2.27.
Условие
Решите неравенство \frac{\sqrt{24 - 2x -x^2 }}{x} < 1 .
Решение
\frac{\sqrt{24 - 2x - x^2 }}{x} < 1\Longleftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x >0, \\
\sqrt{24 - 2x - x^2 }< x,
\end{array}\right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x<0,\\
\sqrt{24 - 2x - x^2 }> x
\end{array}\right.
\end{array}\right.\hskip-3mm\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x >0, \\
0\le 24 - 2x - x^2 < x^2,\\
\end{array}\right.
\\
\left\{ \begin{array}{l}
x<0,\\
24 - 2x - x^2 > x^2
\end{array}\right.
\end{array}\right.\hskip-3mm\Longleftrightarrow\\
\left[ \begin{array}{l}
\\ \left\{ \begin{array}{l}
x >0, \\
(x+6)(4-x) \ge 0,\\
(x+4)(x-3)>0\\
\end{array}\right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x<0,\\
(x+6)(4-x) \ge 0\\
\end{array}\right.
\end{array}\right.\hskip-3mm\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3<x \le4, \\
-6\le x<0.
\end{array}\right.
Ответ \left[- 6;0 \right) \cup (3;4] .