Иррациональные неравенства Часть 3: Часть 2
Математика, 10 класс
Замена переменной Метод замены переменной дает возможность свести решение более сложного неравенства к нескольким простым. Пример 2.28. Условие Решите неравенство 6x-7\sqrt{2x-x^2}>3x^2-2. Решение Есл...
Видео
Конспект
Замена переменной
Метод замены переменной дает возможность свести решение более сложного неравенства к нескольким простым.
Пример 2.28.
Условие
Решите неравенство 6x-7\sqrt{2x-x^2}>3x^2-2.
Решение
Если перенести корень в одну сторону неравенства, а все остальное оставить с другой стороны и попробовать возвести в квадрат, получим неравенство 4-ой степени, которое трудно решать. Но если преобразовать неравенство к виду 3\left(2x-x^2 \right)-7\sqrt{2x-x^2}+2>0, то видна замена переменной z= \sqrt{2x-x^2}\ge 0 , которая сводит исходное неравенство к квадратному: 3z^2-7z+2>0. Решаем это неравенство и получаем с учетом ОДЗ \left[\begin{array}{l}
z>2,\\
z<\frac{1}{3},
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
0\leqslant x \leqslant 2, \\
\left [\begin{array}{l}
2x-x^2>4,\\
0\le 2x-x^2<\frac{1}{9}.
\end{array}\right.
\end{array}\right. Решая систему неравенств, получаем ответ.
Ответ \left[0;1-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cup \left(1+\frac{2\sqrt{2}}{3};2\right] .
Задача 2.29.
Условие
Решите неравенство 2x^2+2x-3\leqslant \sqrt{x^2+x}.
Решение
Пусть z=\sqrt{x^2+x}\ge 0 , тогда неравенство преобразуется как 2z^2-z-3\le 0\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow -1\le z\le \frac{3}{2}. Учитывая, что z\ge0 , возвращаемся к переменной x и получаем \left \{\begin{array}{l}
x^2+x\le \frac{9}{4},\\
x^2+x\ge 0.
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left \{\begin{array}{l}
\frac{-1-\sqrt {10}}{2}\le x\le \frac{-1+\sqrt {10}}{2},\\
\left [\begin{array}{l}
x\ge 0,\\
x\le -1.
\end{array}\right.
\end{array}\right.
Ответ \left[\frac{-1-\sqrt{10}}{2}; - 1\right] \cup \left[0;\frac{-1+\sqrt{10}}{2}\right] .
Пример 2.30.
Условие
Решите неравенство \sqrt{2 - \frac{2}{x+1}} < \sqrt{2 + \frac{2}{x}} + 1 .
Решение
В этом неравенстве два корня, но не стоит сразу приступать к возведению в квадрат. Сначала преобразуем подкоренные выражения. \sqrt{2 - \frac{2}{x+1}} < \sqrt{2 + \frac{2}{x}} +
1\Longleftrightarrow
\sqrt{\frac{2x}{x+1}}<\sqrt{4\cdot\frac{x+1}{2x}}+1. Теперь ясно, что полезно ввести новую переменную, y=\sqrt{\frac{2x}{x+1}}> 0 . Сначала решим неравенство относительно y , ограничения для x учтем позднее. y<2\cdot
\frac{1}{y}+1\Longleftrightarrow\frac{y^2-y-2}{y}<0\Longleftrightarrow \frac{(y+1)(y-2)}{y}<0\Longleftrightarrow 0<y<2. Теперь вернемся к переменной x : 0< y=\sqrt{\frac{2x}{x+1}}<2\Longleftrightarrow
0<\frac{2x}{x+1}<4\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{2x}{x+1}> 0\\
\frac{x+2}{x+1}>0
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
x> 0\\
x<-2.
\end{array}\right. Последняя совокупность получена решением системы стандартным методом интервалов.
Ответ x \in \left(-\infty, - 2\right) \cup (0, + \infty ) .
Задача 2.31.
Условие
Решите неравенство \frac{6x}{x-2}-\sqrt{\frac{12x}{x-2}}-2\sqrt[4]{\frac{12x}{x-2}}>0.
Решение
Введем новую переменную z=\sqrt[4]{\frac{12x}{x-2}} , z\ge 0 . \frac{6x}{x-2}-\sqrt{\frac{12x}{x-2}}-2\sqrt[4]{\frac{12x}{x-2}}>0\Longleftrightarrow\frac{z^4}{2}-z^2-2>0\Longleftrightarrow z(z^3-2z-4)>0\Longleftrightarrow z(z-2)(z^2+2z+2)>0\Longleftrightarrow z>2. Последнее неравенство записано с учетом того, что z\ge 0 . Вернемся к переменной x : \sqrt[4]{\frac{12x}{x-2}}>2\Longleftrightarrow\frac{12x}{x-2}>16\Longleftrightarrow \frac{-4x+32}{x-2}>0. Решаем неравенство и получаем ответ.
Ответ (2;8).