Иррациональные неравенства Часть 3: Часть 3
Математика, 10 класс
Иррациональные неравенства, содержащие более двух радикалов, модули или тригонометрические функции Неравенства с несколькими радикалами Подход к решению здесь такой же, как и в случае иррациональных у...
Видео
Конспект
Иррациональные неравенства, содержащие более двух радикалов, модули или тригонометрические функции
Неравенства с несколькими радикалами
Подход к решению здесь такой же, как и в случае иррациональных уравнений с несколькими корнями: перед возведением в квадрат либо переносом слагаемых из одной части неравенства в другую, либо дополнительными условиями обеспечить неотрицательность обеих частей неравенства.
Пример 2.32.
Условие
Решите неравенство \sqrt{x +3} - \sqrt{x - 1} > \sqrt{2x - 1}.
Решение
В этом неравенстве правая часть, очевидно, неотрицательна. Левая часть неравенства тоже неотрицательна, так как x +3 >x - 1 для всех x . Возведем обе части неравенства в квадрат, при этом необходимо добавить условие неотрицательности подкоренных выражений: \sqrt{x +3} - \sqrt{x -
1} > \sqrt{2x - 1}
\\ \Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
x+3+x-1-2\sqrt{(x+3)(x-1)}>2x-1,\\
x>-3,\\
x\geqslant \frac{1}{2},\\
x\geqslant 1,
\end{array}\right.\\ \Longleftrightarrow \Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
3>2\sqrt{(x+3)(x-1),}\\
x\geqslant 1.
\end{array}\right.\\ Такой вариант возведения в квадрат удобен, так как взаимно уничтожаются слагаемые с x в первой степени. После первого возведения в квадрат иррациональность в неравенстве осталась, поэтому придется возвести обе части в квадрат еще раз.
\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x\geqslant 1,\\
4x^2+8x-21<0,\\
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
x \geqslant 1,\\
-\frac{7}{2}<x<\frac{3}{2}.
\end{array}\right.
\end{array} Из этой системы получается ответ.
Ответ [1, 3/2) .
Задача 2.33.
Условие
Решите неравенство \sqrt{x +5} + \sqrt{x - 1}< \sqrt{2x +12}.
Решение
Все подкоренные выражения неотрицательны при x\ge 1 . Возведем обе части неравенства в квадрат (это можно сделать без дополнительных условий, так как обе части неотрицательны): \sqrt{x +5} + \sqrt{x - 1}> \sqrt{2x +12}\Longleftrightarrow x+5+x-1+2\sqrt{x^2+4x-5}>2x+12\Longleftrightarrow \sqrt{x^2+4x-5}>4\Longleftrightarrow x^2+4x-21>0\Longleftrightarrow x>3 \quad или \quad x<-7. С учетом ограничений x\ge 1 получаем ответ.
Ответ (3;+\infty) .
Задача 2.34.
Условие
Решите неравенство \sqrt{x +2} - \sqrt{2x - 1}> \sqrt{x-2}.
Решение
Все подкоренные выражения неотрицательны при x\ge 2. Преобразуем неравенство к виду \sqrt{x +2} - \sqrt{x - 2}> \sqrt{2x-1}, чтобы обе части не равенства были заведомо больше нуля при x\ge 2. Возводя неравенство в квадрат и учитывая ограничения, получаем: \left \{ \begin{array}{l}
x \ge 2, \\
x+2+x-2-2\sqrt{x^2-4}>2x-1,
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left \{\begin{array}{l}
x \ge 2, \\
2\sqrt{x^2-4}<1,
\end{array}\right. \left \{ \begin{array}{l}
x \ge 2, \\
4x^2-16<1,
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left \{ \begin{array}{l}
x \ge 2, \\
-\frac{\sqrt{17}}{2}<x<\frac{\sqrt{17}}{2}.
\end{array}\right. Решением системы будет промежуток 2\le x<\frac{\sqrt{17}}{2} .
Ответ \left[2;\frac{\sqrt{17}}{2}\right) .