Иррациональные неравенства Часть 3: Часть 4
Математика, 10 класс
Иррациональные неравенства с модулем Пример 2.35. Условие Решите неравенство \sqrt{1-| x|}\geqslant x - 2 . Решение В этой задаче выгодно начать с области допустимых значений, так как 1-|x|\geqslant 0...
Видео
Конспект
Иррациональные неравенства с модулем
Пример 2.35.
Условие
Решите неравенство \sqrt{1-| x|}\geqslant x - 2 .
Решение
В этой задаче выгодно начать с области допустимых значений, так как 1-|x|\geqslant 0\Longleftrightarrow |x|\leqslant 1\Longrightarrow
x-2<0. Следовательно, неравенство верно при всех значениях переменной, которые обеспечивают неотрицательность подкоренного выражения.
Ответ [-1; 1].
Задача 2.36.
Условие
Решите неравенство \sqrt{2-| x|}\geqslant x - 3 .
Решение
Снова начнем с ограничений: 2-| x|\ge 0 \Longleftrightarrow -2\le x\le 2. Тогда -5\le x-3\le -1 . Следовательно, левая часть исходного неравенства всегда отрицательна и решением будет x\in [-2; 2].
Ответ [-2; 2].
Пример 2.37.
Условие
Решите неравенство |3x+1|+\sqrt{3x+4}\leqslant 3.
Решение
Понятно, что должно выполняться условие 3x+4\geqslant 0 , но пока этим условием не будем пользоваться. Введем новую переменную t=\sqrt{3x+4}\geqslant 0 . Тогда \left \{
\begin{array}{l}
t \geqslant 0,\\
|t^2-3| \leqslant 3-t,
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left \{ \begin{array}{l}
t \geqslant 0, \\
t-3 \leqslant t^2-3 \leqslant 3- t,
\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left \{ \begin{array}{l}
t \geqslant 0, \\
t^2-t\geqslant 0,\\
t^2+t-6 \leqslant 0,
\end{array}\right. \Longleftrightarrow
\left \{ \begin{array}{l}
t \geqslant 0, \\
t(t-1)\geqslant 0,\\
(t+3)(t-2) \leqslant 0,
\end{array}\right. \Longleftrightarrow
\left [ \begin{array}{l}
t = 0, \\
1 \leqslant t \leqslant 2.
\end{array}\right. Возвращаемся к переменной x . Так как есть ограничение 3x+4=t^2 \geqslant 0 , то условие неотрицательности подкоренного выражение в исходном неравенстве будет выполнено автоматически. Получаем \left [ \begin{array}{l}
t = 0, \\
1 \leqslant t \leqslant 2,
\end{array}\right. \Longleftrightarrow
\left [ \begin{array}{l}
3x+4 = 0, \\
1 \leqslant 3x+4 \leqslant 4,
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left [ \begin{array}{l}
x=-\frac{4}{3}, \\
-1 \leqslant x \leqslant 0.
\end{array}\right.
Ответ \left\{ -\frac{4}{3} \right\} \cup [-1 ; 0] .
Задача 2.38.
Условие
Решите неравенство |2x-5|+\sqrt{2x+1}\leqslant 6.
Решение
Введем новую переменную \sqrt{2x+1}=t\ge 0 . При этом 2x-5=t^2-6 и неравенство приобретет вид |t^2-6|\le 6-t, что эквивалентно системе \left\{ \begin{array}{l}
t^2-6 \leqslant 6-t, \\
t^2-6 \geqslant t-6 ,
\end{array}\right. \Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
t^2+t-12\le 0,\\
t^2-t\ge 0.
\end{array}\right. Решая эту систему, находим, что либо t=0 , либо 1\le t\le 3 . Тогда либо x=-\frac{1}{2} , либо 1\le 2x+1\le 9 . тсюда и получаем ответ.
Ответ \left\{ -\frac{1}{2} \right\} \cup [0 ;4] .