Иррациональные неравенства Часть 1: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 2.10.

Условие

Решите неравенство \frac{1}{\sqrt{x^2 - 5x+6}}> \frac{1}{2x+1}.

Решение

\begin{array}{l}

\frac{1}{\sqrt{4 - x }} > \frac{1}{2x - 1}\Longleftrightarrow

\left[ \begin{array}{l}

\left\{ \begin{array}{l}

2x+1 <0, \\

x^2-5x+6>0,

\end{array}\right.\\

\left\{ \begin{array}{l}

2x+1>0,\\

\sqrt{x^2-5x+6}<2x+1,

\end{array}\right.

\end{array}\right.\Longleftrightarrow\\

\left[ \begin{array}{l}

x <-\frac{1}{2}, \\

\left[ \begin{array}{l}

x>3,\\

x<2,\\

\end{array}\right.\\

\left\{ \begin{array}{l}

x>-\frac{1}{2},\\

x^2-5x+6<4x^2+4x+1.

\end{array}\right.

\end{array}\right.

\end{array} Последняя система в совокупности содержит квадратное неравенство 3x^2+9x-5>0 . Решаем его и с учетом условия x>-\frac{1}{2} получаем решение последней системы: x\in \left(-\frac{1}{2};\frac{-9-\sqrt{141}}{6}\right)\cup\left(\frac{-9+\sqrt{141}}{6};+\infty\right). Объединяя все решения совокупности, получаем ответ.

Ответ \left (- \infty; -\frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{- 9 + \sqrt{141}}{6}; 2 \right)\cup (3; +\infty ) .

Решение иррационального неравенства можно свести к решению иррационального уравнения, если воспользоваться графическим способом. Применим его для решения задачи из предыдущего раздела.

Пример 2.11.

Условие

Решите неравенство \sqrt{5 - 2x}< 6x - 1.

Решение

Irrac_17 Построим сначала графики функций f_1(x)=\sqrt{5 - 2x} и f_2(x)=6x - 1 (рис. 2) и определим, где график первой функции расположен ниже второй. (Отметим, что график первой функции можно построить только в области x\leqslant 2,5 .)

Найдем точки пересечения графиков, то есть решим уравнение \sqrt{5 - 2x}= 6x - 1 . Сделаем это стандартным способом возведения в квадрат с учетом условия 6x - 1 \geqslant 0 . Получаем решение x=0,5 . График функции f_1(x) расположен строго ниже графика функции f_2(x) при x\in \left(0,5; 2,5 \right] . Ответ, что радует, тот же самый.

Ответ \left(0,5; 2,5 \right] .

Задача 2.12.

Условие

Решите графически неравенство: \sqrt{2x+ 34}\leqslant 7-x.

Решение

Построим сначала графики функций f_1(x)=\sqrt{2x +34} и f_2(x)=7-x (рис.) и определим, где график первой функции расположен ниже второй. (Отметим, что график первой функции можно построить только в области x\geqslant -17 .) Найдем точки пересечения графиков, то есть решим уравнение \sqrt{ 2x+34}= 7-x .

Сделаем это стандартным способом возведения в квадрат с учетом условия 7-x \geqslant 0 : \sqrt{2x+ 34}= 7-x\Longleftrightarrow x+34=49-14x+x^2\Longleftrightarrow x=1; x=15. Так как x\le 7 , остается только решение x=1 . График функции f_1(x) расположен строго ниже графика функции f_2(x) при x\le 1 . С учетом условия неотрицательности подкоренного выражения получаем ответ.

Ответ [-17; 1 ] .

Задача 2.13.

Условие

Решите графически неравенство: \sqrt{4x-2}\leqslant x.

Ответ \left[ 0,5; 2-\sqrt{2} \right] \cup \left[ 2+\sqrt{2}; + \infty \right) .

Как и в случае иррациональных уравнений, графический способ решения иррациональных неравенств удобно применять, если возведение в квадрат приводит к неравенству более высокого порядка, чем второй, при этом построение графиков не является сложным.

Пример 2.14.

Условие

Найдите все положительные решения неравенства \sqrt{ 2x+12}> x^2.

Решение

Irrac_19 Построим графики функций y_1(x)=\sqrt{ 2x+12} и y_2(x)=x^2 (см. рис. 3). Сначала решим уравнение \sqrt{ 2x+12}= x^2 и найдем, что x=2 . Из графика на рис. 3 видно, что условию задачи удовлетворяют 0<x<2 .

Ответ (0;2) .

Задача 2.15.

Условие

Найдите все отрицательные решения неравенства : \sqrt{ 20+2x}< x^2

Решение

Построим графики функций y_1(x)=\sqrt{ 20+2x} и y_2(x)=x^2 (см. рис.). Сначала решим уравнение \sqrt{ 20+2x}= x^2 и найдем, что x=-2 . Учтем, что 20+2x\ge 0 и из графика на рисунке получим, что условию задачи удовлетворяют x\in [-10;-2) .

Ответ [-10;-2) .