Иррациональные неравенства Часть 1: Часть 2
Математика, 10 класс
Неравенства вида \sqrt{f(x)}<g(x) и \sqrt{f(x)} > g(x) Для решения иррациональных неравенств их также часто требуется возводить в квадрат, но в отличие от уравнений, нужно получать только равносильные...
Видео
Конспект
Неравенства вида \sqrt{f(x)}<g(x) и \sqrt{f(x)} > g(x)
Для решения иррациональных неравенств их также часто требуется возводить в квадрат, но в отличие от уравнений, нужно получать только равносильные системы, так как отбор посторонних промежутков подстановкой невозможен.
Рассмотрим два основных случая простейших квадратных неравенств.
Пусть \sqrt{f(x)}<g(x). Первое, что нужно сделать - рассмотреть область допустимых значений для неравенства: f(x)
\geqslant 0 . Далее так как слева стоит неотрицательная величина, то и выражение справа не может принимать отрицательные значения: g(x) \geqslant 0. Возводя неравенство в квадрат при этих условиях, получаем равносильную ему систему: \sqrt{f(x)}<g(x)\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
f(x) \geqslant 0,\\
g(x) \geqslant 0, \\
f(x)<(g(x))^2.
\end{array}\right.
Пусть теперь \sqrt{f(x)}>g(x). Здесь также должно быть выполнено условие f(x)\geqslant 0 . Но, в отличие от предыдущего случая, допустимо и g(x) < 0. Более того, неотрицательная величина всегда больше отрицательной, поэтому для g(x) < 0 справедлива система неравенств: \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{f(x)}> g(x),\\
g(x) < 0,
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
f(x)\geqslant 0,\\
g(x) < 0.
\end{array}\right. В случае g(x) \geqslant 0 имеем: \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{f(x)}> g(x),\\
g(x) \geqslant 0,
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
f(x) >(g(x))^2,\\
g(x) \geqslant 0.
\end{array}\right. Внимание! Условие f(x) \geqslant 0 в этом случае выполняется автоматически из неравенства, полученного при возведении в квадрат, поэтому его не надо записывать в систему.
В итоге получаем, что неравенство (2.3) равносильно совокупности двух систем: \sqrt{f(x)}>g(x)\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
f(x) \geqslant 0,\\
g(x) < 0,
\end{array}\right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
f(x) >(g(x))^2,\\
g(x) \geqslant 0.
\end{array}\right.
\end{array}\right. Переход к равносильной системе или совокупности систем для краткости будем называть равносильным переходом.
Пример 2.5.
Условие
Решите неравенство \sqrt{5 - 2x}< 6x - 1.
Решение
Эта задача соответствует случаю (2.1). Воспользуемся результатом (2.2). \sqrt{5 - 2x} < 6x - 1\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
5-2x \geqslant 0,\\
6x-1 \geqslant 0, \\
5-2x<(6x-1)^2,
\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \leqslant \frac{5}{2},\\
x \geqslant \frac{1}{6}, \vphantom{\int\limits} \\
18x^2-5x-2>0,
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{6} \leqslant x \leqslant \frac{5}{2},\\
\\
\left(x+\frac{2}{9}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)>0.
\end{array}\right. Решая систему неравенств методом интервалов, получаем ответ.
Ответ \left(0,5; 2,5 \right] .
Задача 2.6.
Условие
Решите неравенство \sqrt{x^2 - x - 2}\leqslant x - 1.
Решение
\left\{ \begin{array}{l}
x^2-x-2 \geqslant x^2-2x+1,\\
x^2-x-2 \geqslant 0, \\
x-1\ge 0,
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
x \leqslant 3,\\
\left[ \begin{array}{l}
x\ge 2,\\
x \leqslant -1.
\end{array}\right.\\
x \geqslant 1 .\\
\end{array}\right. Системе удовлетворяют только x\in [2;3] .
Ответ \left[2; 3 \right] .
Пример 2.7.
Условие
Решите неравенство \sqrt{x^2 + 4x -5} > x - 3.
Решение
Это неравенство соответствует случаю (2.3). Оно решается по схеме (2.4). \sqrt{x^2 + 4x -5} > x - 3\Longleftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + 4x -5 \geqslant 0,\\
x - 3 < 0,
\end{array}\right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + 4x -5 >( x - 3)^2,\\
x-3 \geqslant 0,
\end{array}\right.
\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
(x +5)(x -1) \geqslant 0,\\
x < 3,
\end{array}\right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
10x - 14 >0,\\
x \geqslant 3,
\end{array}\right.
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
1 \leqslant x<3,\\
x \leqslant -5,\\
x \geqslant 3.
\end{array}\right. Объединяем решения и получаем ответ.
Ответ \left(-\infty; - 5 \right] \cup [1; + \infty) .
Задача 2.8.
Условие
Решите неравенство x + 4 < \sqrt{- x^2 -8x - 12} .
Решение
Запишем неравенство в виде \sqrt{- x^2 - 8x - 12} >x + 4 , чтобы было проще применять приведенную выше схему. \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x+4 < 0,\\
- x^2 - 8x - 12\ge 0,
\end{array}\right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x+4 \ge 0,\\
- x^2 - 8x - 12>x^2+8x+16,
\end{array}\right.
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x < -4,\\
-6\le x\le -2,
\end{array}\right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge -4,\\
x^2 + 8x + 14<0.
\end{array}\right.
\end{array}\right.
Последнее неравенство в системе дает решение -4-\sqrt 2< x < -4+\sqrt 2. В итоге решением системы будет -6\le x<-4+\sqrt 2 .
Ответ \left[- 6; - 4 + \sqrt{2} \right) .
Пример 2.9.
Условие
Решите неравенство \frac{1}{\sqrt{4 - x }} > \frac{1}{2x - 1} .
Решение
Данному неравенству легко придать вид (2.3), если записать его в виде \sqrt{\frac{1}{4-x}}>\frac{1}{2x-1}, после чего решаем его по схеме (2.4). \begin{array}{l}
\frac{1}{\sqrt{4 - x }} > \frac{1}{2x - 1}\Longleftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x-1 <0, \\
4- x>0,
\end{array}\right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
2x-1>0,\\
0<4-x<(2x-1)^2,
\end{array}\right.
\end{array}\right.\Longleftrightarrow\\
\qquad \Longleftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
x<\frac{1}{2},\\
\left\{ \begin{array}{l}
x >\frac{1}{2},\\
x<4, \vphantom{\int}\\
4x^2-3x-3>0.
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\end{array} Решая методом интервалов систему и объединяя полученные решения совокупности, получаем ответ.
Ответ \left(- \infty; \frac{1}{2} \right) \cup \left(\frac{ 3 + \sqrt{57}}{8}; 4 \right) .