Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами Часть 1: Часть 4
Математика, 10 класс
Пример 3.15. Условие Решите уравнение \sqrt[3]{x^3-x^2-a} = x -1. Решение Уравнения с кубической иррациональностью с точки зрения исследования в зависимости от параметра проще, так как выражение под з...
Видео
Конспект
Пример 3.15.
Условие
Решите уравнение \sqrt[3]{x^3-x^2-a} = x -1.
Решение
Уравнения с кубической иррациональностью с точки зрения исследования в зависимости от параметра проще, так как выражение под знаком корня и сам корень могут принимать и положительные, и отрицательные значения. Но в то же время нужно помнить формулу возведения в куб! \sqrt[3]{x^3-x^2-a} = x -1\Longleftrightarrow x^3-x^2-a=x^3-3x^2+3x-1 \Longleftrightarrow2x^2-3x-a+1=0 Решаем полученное квадратное уравнение в зависимости от параметра и получаем ответ с ограничениями на дискриминант.
Ответ если a \in \left[-\frac{1}{8}; + \infty \right) , то x=\frac{3\pm \sqrt{8a + 1}}{4} ;при других a решений нет.
Задача 3.16.
Условие
Решите уравнение \sqrt[3]{4x^2- x^3+4ax} = 2-x.
Решение
\sqrt[3]{4x^2- x^3+4ax} = 2-x\Longleftrightarrow 4x^2-x^3+4ax=8-12x+6x^2-x^3 \Longleftrightarrow2x^2-(12+4a)x+8=0. Решаем полученное квадратное уравнение в зависимости от параметра и получаем ответ с ограничениями на дискриминант \frac{D}{4}=4a^2+24a+20=4(a^2+5a+6)\ge 0.
Ответ если a \in \left(-\infty; -5\right]\cup [-1;+\infty) , то x=3+a\pm \sqrt{a^2+6a+5} ; при других a решений нет.
Пример 3.17.
Условие
Решите уравнение \sqrt{a+x} + \sqrt{a-x} = x .
Решение
Сразу отметим, что x \geqslant 0 , поскольку x равен сумме двух квадратных корней. Так как x \geqslant 0 , то a + x \geqslant a - x и, если существует второй корень, тогда обязательно существует и первый. Возведем данное уравнение в квадрат, добавим необходимые условия. \begin{array}{l}
\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x} = x ~
\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
a + x + 2\sqrt{a^2 - x^2} + a - x = x^2, \\
x \geqslant 0, \\
a - x \geqslant 0,
\end{array}\right. \\~\\
\qquad\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2\sqrt{a^2 - x^2} = x^2 - 2a. \\
0 \leqslant x \leqslant a. \\
\end{array}\right.
\end{array} Возведем еще раз уравнение в квадрат, снова оговорив условия, обеспечивающие равносильность перехода. Получим \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
4\left(a^2 - x^2\right) = x^4 - 4ax^2 + 4a^2, \\
0 \leqslant x \leqslant a, \\
x^2 \geqslant 2a,
\end{array}\right.
\hskip-3mm\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
x^4 - 4(a - 1)x^2 = 0, \\
\sqrt{2a} \leqslant x \leqslant a, \\
a \geqslant 0,
\end{array}\right.
\hskip-3mm\Longleftrightarrow \\
\qquad \Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x^2 = 4(a - 1), \\
x = 0,
\end{array}\right.\\
\sqrt{2a} \leqslant x \leqslant a, \\
a \geqslant 0,
\end{array}\right.
\end{array} Решение x = 0 удовлетворяет условию \sqrt{2a} \leqslant x \leqslant a только при a = 0 . Таким образом, получили первое решение x = 0 при a = 0 . Корень x = - 2\sqrt{a - 1} удовлетворяет условию x \geqslant 0 только при значении параметра a=1 , тогда x=0 . Непосредственной проверкой убеждаемся, что эти значения параметра и неизвестной величины не удовлетворяют исходному уравнению.
Для оставшегося корня x = 2\sqrt{a - 1} получим цепочку равносильных переходов: \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\sqrt{a - 1}, \\
\sqrt{2a} \leqslant 2\sqrt{a - 1}, \\
2\sqrt{a - 1} \leqslant a,\\
a \geqslant 0,
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\sqrt{a - 1}, \\
a \geqslant 2, \\
a^2 - 4a + 4 \geqslant 0,\\
\end{array}\right.
\hskip-3mm\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\sqrt{a - 1}, \\
a \geqslant 2. \\
\end{array}\right.
Объединяя все решения, получаем ответ.
Ответ если a \in(-\infty; 0) \cup(0;2) то нет решений; если a = 0 , то x = 0 ; если a \in[2;+\infty) , то x = 2 \sqrt{a-1} .
Задача 3.18.
Условие
Решите уравнение \sqrt{x+2a+1} + \sqrt{2a-x-1} = x+1 .
Решение
Обозначим y=x+1 и =2a и получим уравнение \sqrt{y+b}+\sqrt{y+a}=y , что с точностью до переименования переменных совпадает с условием предыдущей задачи. Воспользуемся ее решением и получим: если b = 0 , то y = 0 ; если b \in[2;+\infty) , то y = 2 \sqrt{a-1} . При остальных значения параметра b решений нет. Возвращаясь к переменным из условия задачи, получаем ответ.
Ответ если a = 0 , то x =-1 ; если a \in [1; +\infty) , то x =-1+2\sqrt{2a-1} .