Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами Часть 1: Часть 3
Математика, 10 класс
Пример 3.11. Условие Найдите все значения a , при которых уравнение \sqrt{x^4-x^2+a^2}=x^2+x-a, имеет ровно три различных решения. Решение \sqrt{x^4-x^2+a^2}=x^2+x-a\Longleftrightarrow \left\{\begin{a...
Видео
Конспект
Пример 3.11.
Условие
Найдите все значения a , при которых уравнение \sqrt{x^4-x^2+a^2}=x^2+x-a, имеет ровно три различных решения.
Решение
\sqrt{x^4-x^2+a^2}=x^2+x-a\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x^4-x^2+a^2 = x^4+x^2+a^2+2x^3-2x^2a-2xa, \\
x^2+x-a \geqslant 0.
\end{array} \right. Здесь была использована формула (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc . Решим полученное после преобразований уравнение x^4-x^2+a^2 = x^4+x^2+a^2+2x^3-2x^2a-2xa\Longleftrightarrow 2x^3-2ax^2+2x^2-2ax=0\Longleftrightarrow x(x-a)(x+1)=0. В этом уравнении гарантированно есть два различных решения: x=0 и x=-1 . Для того, чтобы было три различных решения, должно выполняться условие a\ne 0 , a\ne -1 . Осталось проверить выполнение неравенства x^2+x-a \geqslant 0 : \left\{\begin{array}{l}
0+0-a\ge 0, \\
a^2+a-a \geqslant 0,\\
1-1-a\ge 0,
\end{array} \right.\Longleftrightarrow
a\le 0. Далее удалим из найденного промежутка a=-1 и получим ответ на вопрос задачи.
Ответ (-\infty;-1)\cup(-1;0) .
Пример 3.12.
Условие
Найдите все значения a , при которых уравнение
\sqrt{x^4-x^2+a^2}=x^2+x-a имеет ровно три различных решения.
Решение
\sqrt{x^4-9x^2+a^2}=x^2+3x-a\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x^4-9x^2+a^2 = x^4+9x^2+a^2+6x^3-2x^2a-6xa, \\
x^2+3x-a \geqslant 0.
\end{array} \right. 6x^3+(18-2a)x^2-6ax=0\Longleftrightarrow 2x(3x^2+(9-2a)x-3a)=0\Longleftrightarrow x (3x-a)(x+3)=0. В этом уравнении гарантированно есть два различных решения: x=0 и x=-3 . Для того, чтобы было три различных решения, должно выполняться условие \frac{a}{3}\ne 0 , \frac{a}{3}\ne -3 . Осталось проверить выполнение неравенства x^2+3x-a \geqslant 0 : \left\{\begin{array}{l}
0+0-a\ge 0, \\
a^2+3a-a \geqslant 0,\\
9-9-a\ge 0,
\end{array} \right.\Longleftrightarrow
a\le 0. Далее удалим из найденного промежутка a=-9 и получим ответ на вопрос задачи.
Ответ (-\infty;-9)\cup(-9;0) .
Пример 3.13.
Условие
Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение a^2 - 7a + 7 \sqrt{2x^2 + 49} = 3 |x - 7a| - 6|x| имеет хотя бы один корень.
Решение
Перепишем исходное уравнение в виде 7 \sqrt{2x^2 + 49} + 6|x| = 3 |x - 7a| - a^2 + 7a. Введем функции y_1(x) = 7 \sqrt{2x^2 + 49} + 6|x|, ~~y_2(x) = 3|x - 7a| - a^2 + 7a. Функция y_1(x) принимает минимальное значение при x = 0 . Вычисляя производную y'_1(x) =
\left\{\begin{array}{l}
\frac{14x}{\sqrt{2x^2 + 49}} - 6 , ~~ x < 0, \vphantom{\int\limits_-}\\
\frac{14x}{\sqrt{2x^2 + 49}} + 6 , ~~ x > 0,\\
\end{array}
\right. получаем, что функция убывает при x<0 и возрастает при x>0 . Следовательно, точка x = 0 является единственной точкой минимума. Также заметим, что \left| y_1(x) \right| \geqslant 6 , а \left| y_2(x) \right| = 3 . Тогда можно сделать вывод, что во всех точках (кроме x = 0 ) скорость возрастания (убывания) функции y_1(x) больше скорости возрастания (убывания) функции y_2(x) . Для того, чтобы кривые имели хотя бы одну общую точку (уравнение имело хотя бы одно решение), нужно выполнение неравенства y_1(0) \leqslant y_2(0) . Тогда y_1(0) \leqslant y_2(0) \Longleftrightarrow
21|a| - a^2 + 7a \geqslant 49 \Longleftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
21a \geqslant a^2 - 7a + 49, \\
21a \leqslant - a^2 + 7a - 49,\\
\end{array} \right. \Longleftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
a \in \left[ 14 - 7\sqrt3 ; 14 + 7\sqrt3 \right],\\
a = - 7.
\end{array} \right.
Ответ \{ - 7 \} \cup \left[ 14 - 7\sqrt3 ; 14 + 7\sqrt3 \right] .
Задача 3.14.
Условие
Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение a^2 + 7|x+1| + 5 \sqrt{x^2 + 2x + 5} = 2a + 3 |x - 4a + 1|, имеет хотя бы один корень.
Совет
Введите новую переменную t = x + 1 .
Ответ \left[ - 5 - \sqrt{15}; - 5 + \sqrt{15} \right] \cup \left[ 7 - \sqrt{39} ; 7 + \sqrt{39} \right] .