Иррациональные неравенства Часть 2: Часть 4

Видео

Конспект

Пример 2.24.

Условие

Решите неравенство 5\cdot \sqrt{\frac{\sqrt{x +4} + \sqrt{x+3}}{\sqrt{x +4} - \sqrt{x+3}}} +

4\cdot \sqrt{\frac{\sqrt{x +4} - \sqrt{x+3}}{\sqrt{x +4} + \sqrt{x+3}}} \leqslant 9\cdot \sqrt{x+4}.

Решение

Это неравенство с виду очень страшное, корень под знаком корня, да еще и не один. Но эта громоздкость и заставляет думать, что оно должно преобразоваться к чему-то несложному. Ну, действительно, не возводить же все это в квадрат! Здесь, исходя из вида подкоренных выражений, надо применить метод умножения на выражение, сопряженное знаменателю: первую дробь на \sqrt{x +4} + \sqrt{x+3} , вторую дробь на \sqrt{x +4} - \sqrt{x+3} . Получим \begin{array}{l}

5\cdot\sqrt{\frac{\sqrt{x +4} + \sqrt{x+3}}{\sqrt{x +4} -

\sqrt{x+3}}} +

4\cdot \sqrt{\frac{\sqrt{x +4} - \sqrt{x+3}}{\sqrt{x +4} + \sqrt{x+3}}} \leqslant 9\cdot

\sqrt{x+4} \Longleftrightarrow \\~\\

5\cdot \sqrt{

\frac{\left(\sqrt{x +4} + \sqrt{x+3}\right)^2}

{\left(\sqrt{x +4} \right)^2 - \left(\sqrt{x+3}\right)^2}} + \\

\qquad\qquad + 4\cdot \sqrt{\frac{\left(\sqrt{x +4} - \sqrt{x+3}\right)^2}

{\left(\sqrt{x +4}\right)^2 - \left(\sqrt{x+3}\right)^2}} \leqslant 9\cdot

\sqrt{x+4}.

\end{array} Поскольку \sqrt{x+4}

> \sqrt{x+3} и \sqrt{x+4} > - \sqrt{x+3} , то, снимая наружный корень, можно опустить модуль в числителях.

5 \left(\sqrt{x +4} + \sqrt{x+3}\right) + 4 \left(\sqrt{x +4} - \sqrt{x+3}\right)

\leqslant 9 \cdot \sqrt{x+4}

~~\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow~~

\sqrt{x+3} \leqslant 0~~\left( \Longrightarrow~ x + 4

\geqslant 0 \right)~~\Longleftrightarrow~~ x + 3 = 0. Ответ -3 .

Задача 2.25.

Условие

Решите неравенство \sqrt{\frac{|x +3| + |x+2|}{|x +3| -

|x+2|}} -3\frac{|x+2|}{\sqrt{2x+5}}<

2 \sqrt{\frac{|x +3| -|x+2|}{|x +3| + |x+2|}}.

Решение

Умножим числитель и знаменатель выражения \sqrt{\frac{|x +3| + |x+2|}{|x +3| - |x+2|}} на \sqrt{|x +3| + |x+2|} и получим: \sqrt{\frac{|x +3| + |x+2|}{|x +3| - |x+2|}}=\frac{|x +3| + |x+2|}{\sqrt{x^2+6x+9-x^2-4x-4}}=\frac{|x +3| + |x+2|}{\sqrt{2x+5}}. Аналогично \sqrt{\frac{|x +3| - |x+2|}{|x +3| + |x+2|}}=\frac{|x +3| - |x+2|}{\sqrt{x^2+6x+9-x^2-4x-4}}=\frac{|x +3| - |x+2|}{\sqrt{2x+5}}. Тогда исходное неравенство приобретает вид: \frac{|x +3| + |x+2|}{\sqrt{2x+5}}-3\frac{|x+2|}{\sqrt{2x+5}} <2 \frac{|x +3| - |x+2|}{\sqrt{2x+5}}\Longleftrightarrow \frac{|x +3| + |x+2|-3|x+2|-2|x +3|+2|x+2|}{\sqrt{2x+5}}<0\Longleftrightarrow-\frac{|x +3|}{\sqrt{2x+5}}<0. Последнее неравенство выполняется всегда, если подкоренное выражение в знаменателе положительно: x> -\frac{5}{2}.

Ответ \left(-\frac{5}{2}; + \infty \right) .