Иррациональные неравенства Часть 2: Часть 2
Математика, 10 класс
Неравенства вида \frac{\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}}{h(x)}\leqslant 0 Пример 2.20. Условие Решите неравенство \frac{\sqrt{1-x^3}-1}{x+1}\leqslant x . Решение Для того, чтобы увидеть, что это задача соответ...
Видео
Конспект
Неравенства вида \frac{\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}}{h(x)}\leqslant 0
Пример 2.20.
Условие
Решите неравенство \frac{\sqrt{1-x^3}-1}{x+1}\leqslant x .
Решение
Для того, чтобы увидеть, что это задача соответствует данному разделу, преобразуем неравенство: \begin{array}{l}
\frac{\sqrt{1-x^3}-1}{x+1}\leqslant x\Longleftrightarrow \frac{\sqrt{1-x^3}-1-x^2-x}{x+1}\leqslant 0 \Longleftrightarrow \\
\qquad \Longleftrightarrow \frac{\sqrt{1-x}\cdot \sqrt{1+x+x^2}-\left(\sqrt{1+x+x^2}\right)^2}{x+1}\leqslant 0\Longleftrightarrow \vphantom{\int\limits_1^2}\\
\qquad \Longleftrightarrow \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x+x^2}}{x+1}\leqslant 0.
\end{array} (Подумайте, почему можно <<отбросить>> множитель \sqrt{1+x+x^2} .)
Теперь рассмотрим две системы, эквивалентные в совокупности полученному неравенству, которые содержат неравенства вида \sqrt{f(x)}>\sqrt {g(x)} : \begin{array}{l}
\left [ {\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{l}
\sqrt{1-x}\leqslant\sqrt{1+x+x^2}; \\
x+1 >0;\\
\end{array}} \right.\\
\left\{ {\begin{array}{l}
\sqrt{1-x}\geqslant\sqrt{1+x+x^2} ;\\
x+1 <0;
\end{array}} \right.\\
\end{array}} \right.
\hskip-2mm\Longleftrightarrow
\left [ {\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{l}
1-x\leqslant 1+x+x^2; \\
-1<x\leqslant 1;\\
\end{array}} \right.\\
\left\{ {\begin{array}{l}
1-x\geqslant 1+x+x^2 ;\\
x< -1;\\
\end{array}} \right.\\
\end{array}} \right.
\hskip-2mm\Longleftrightarrow \\~\\
\qquad \Longleftrightarrow
\left [ {\begin{array}{l}
0\leqslant x \leqslant 1;\\
-2\leqslant x <-1.
\end{array}} \right.
\end{array}
Ответ [-2;-1) \cup [0;1] .
Задача 2.21.
Условие
Решите неравенство \frac{\sqrt{1+x^3}-1}{x-1}\geqslant x.
Решение
Сразу отметим, что x\ge -1 и x\ne 1 . Преобразуем неравенство: \begin{array}{l}
\frac{\sqrt{1+x^3}-1}{x-1}\leqslant x\Longleftrightarrow \frac{\sqrt{1+x^3}-1-x^2+x}{x-1}\geqslant 0 \Longleftrightarrow \\
\qquad \Longleftrightarrow \frac{\sqrt{1+x}\cdot \sqrt{1-x+x^2}-\left(\sqrt{1-x+x^2}\right)^2}{x-1}\geqslant 0\Longleftrightarrow \vphantom{\int\limits_1^2}\\
\qquad \Longleftrightarrow \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x+x^2}}{x-1}\geqslant 0.
\end{array} \begin{array}{l}
\left [ {\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{l}
\sqrt{1+x}\leqslant\sqrt{1-x+x^2}; \\
x-1 <0;\\
\end{array}} \right.\\
\left\{ {\begin{array}{l}
\sqrt{1+x}\geqslant\sqrt{1-x+x^2} ;\\
x-1 >0;
\end{array}} \right.\\
\end{array}} \right.
\hskip-2mm\Longleftrightarrow
\left [ {\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{l}
1+x\leqslant 1-x+x^2; \\
-1\leqslant x< 1;\\
\end{array}} \right.\\
\left\{ {\begin{array}{l}
1-x\geqslant 1-x+x^2 ;\\
x>1;\\
\end{array}} \right.\\
\end{array}} \right.
\hskip-2mm\Longleftrightarrow \\~\\
\qquad \Longleftrightarrow
\left [ {\begin{array}{l}
-1\leqslant x \leqslant 0;\\
1< x \leqslant 2.
\end{array}} \right.
\end{array}
Ответ [-1;0] \cup (1;2] .