Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами Часть 2: Часть 2
Математика, 10 класс
Иррациональные неравенства с параметрами Пример 3.21. Условие В зависимости от значений параметра a решите неравенство \sqrt{2x+a} \geqslant x. Решение Перейдем к системе неравенств, не содержащих рад...
Видео
Конспект
Иррациональные неравенства с параметрами
Пример 3.21.
Условие
В зависимости от значений параметра a решите неравенство \sqrt{2x+a} \geqslant x.
Решение
Перейдем к системе неравенств, не содержащих радикала, по стандартной схеме (2.4): \sqrt{2x+a} \geqslant x
~\Longleftrightarrow~
\left[\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
x < 0,\\
2x + a \geqslant 0,
\end{array} \right.\\
\left\{\begin{array}{l}
x \geqslant 0,\\
2x + a \geqslant x^2.
\end{array}\right.
\end{array}\right. Рассмотрим каждую из получившихся систем по отдельности. Первая система:
\left\{\begin{array}{l}
x < 0,\\
2x + a \geqslant 0,
\end{array} \right.
\Longleftrightarrow
\fbox{$- \frac{a}{2} \leqslant x < 0 \text{ при } a > 0.$}
Условие a > 0 необходимо для существования полуинтервала \left[ - \frac{a}{2}, 0 \right) .
Вторая система: \left\{\begin{array}{l}
x \geqslant 0,\\
x^2 - 2x - a \leqslant 0,
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
x \geqslant 0,\\
1 - \sqrt{1 + a} \leqslant x \leqslant 1 + \sqrt{1 + a},\\
a \geqslant - 1,
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow \left[\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
1 - \sqrt{1 + a} \geqslant 0,\\
1 - \sqrt{1 + a} \leqslant x \leqslant 1 + \sqrt{1 + a},\\
a \geqslant - 1,
\end{array}\right.\\
\left\{\begin{array}{l}
1 - \sqrt{1 + a} < 0,\\
0 \leqslant x \leqslant 1 + \sqrt{1 + a},\\
a \geqslant - 1,
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow
\Longleftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
\left\{
\fbox{$
\begin{array}{l}
- 1 \leqslant a \leqslant 0,\\
1 - \sqrt{1 + a} \leqslant x \leqslant 1 + \sqrt{1 + a},\\
\end{array}
$}
\right.\\
\\
\left\{
\fbox{$
\begin{array}{l}
a > 0,\\
0 \leqslant x \leqslant 1 + \sqrt{1 + a}.\\
\end{array}
$}
\right.
\end{array}\right.
Объединяя ответы к первой и второй системам, получаем ответ к задаче.
Ответ если a \in(-\infty; - 1) , то нет решений; если a\in [- 1; 0] , то x\in \left[ 1 - \sqrt{1+a} ; 1 + \sqrt{1+a} \right] ; если a \in(0;+\infty) , то x\in \left[ - \frac{a}{2} ; 1 + \sqrt{1+a}\right] .
Задача 3.22.
Условие
В зависимости от значений параметра a решите неравенство \sqrt{a + \sqrt{x}} + \sqrt{a - \sqrt{x}} < \sqrt{2}.
Решение
Пусть y=\sqrt x\ge 0 . Тогда неравенство примет вид: \sqrt{a+y}+\sqrt{a-y}<\sqrt 2. Очевидно, что a\ge 0 , так как в противном случае второй корень не имеет смысла. Также для существования левой части неравенства нужно, чтобы выполнялось условие a-y\ge 0 . Решим неравенство при названных условиях методом возведения в квадрат: a+y+a-y+2\sqrt{a^2-y^2}<2\Longleftrightarrow \sqrt{a^2-y^2}<1-a \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
1-a \ge 0,\\
a^2-y^2<1-2a+a^2,
\end{array} \right.\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
a\le 1,\\
y^2>2a-1.
\end{array} \right. Возвращаясь к переменной x=y^2 и учитывая, что a\ge0 , получаем: \left\{\begin{array}{l}
x >2a-1,\\
x\ge 0,\\
\sqrt x \leqslant a,\\
0\le a\le 1.
\end{array} \right. Если a>\frac{1}{2} , то 2a-1<x\le a^2 ; Если 0\le a\le\frac{1}{2} , то 0\le<x\le a^2 . При остальных a решений нет.
Ответ если a \in(-\infty; 0) , то нет решений; если a\in \left[0 ; 0,5\right) , то x \in \left[ 0 ; a^{2} \right] ; если a\in [0,5; 1) , то x \in \left( 2a - 1 ; a^{2} \right] ; если a \in [1;+\infty) , то нет решений.
В случае, когда в уравнении присутствуют два и более радикалов, как правило, чтобы полностью избавиться от них, требуется повторное возведение в квадрат, что приводит к громоздким выкладкам из-за большого количества дополнительных условий. С целью избежать повторного возведения в квадрат и уменьшить выкладки, в следующих задачах рекомендуется ввести новую переменную, равную одному из радикалов.