Иррациональные уравнения Часть1: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 1.4.

Условие

Решите уравнение \sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5} = 1 .

Решение

Преобразуем уравнение как \sqrt{2x-4} = 1+ \sqrt{x+5}. Это уравнение можно возводить в квадрат, так как обе части уравнения неотрицательны, и получить эквивалентное уравнение: 2x-4=1+x+5+2\sqrt{x+5}\Longleftrightarrow x-10=2\sqrt{x+5}. Требуется еще одно возведение в квадрат, однако это возможно только при условии x\ge 10 : \left\{

{\begin{array}{l}

x^2-20x+100 = 4x+20, \\

x-10\geqslant 0. \\

\end{array}} \right.\Longleftrightarrow

\left\{

{\begin{array}{l}

x^2-24x+80 = 0, \\

x\geqslant 10. \\

\end{array}} \right. Решая уравнение, находим два корня: x=20 и x=4 . С учетом ограничений, остается решение x=20 .

Ответ 20 .

Задача 1.5.

Условие

Решите уравнение \sqrt{x+5}\cdot \sqrt{2x+3} = x+7 .

Решение

Возведем в квадрат уравнение и с учетом ограничений получим: \left\{

{\begin{array}{l}

(x+5)(2x+3)= x+7, \\

x+5\geqslant 0. \\

2x+3\geqslant 0. \\

x+7\geqslant 0, \\

\end{array}} \right.\Longleftrightarrow

\left\{

{\begin{array}{l}

x^2-x-24 = 0, \\

x\geqslant -1,5. \\

\end{array}} \right. Решая квадратное уравнение, получаем x=\frac{1\pm\sqrt{137}}{2} . С учетом условий, получаем ответ.

Ответ \frac{1+\sqrt{137}}{2}.