Иррациональные уравнения Часть1: Часть 3
Математика, 10 класс
Замена переменной в иррациональных уравнениях Метод замены переменной хорошо знаком по предыдущим главам. Цель его - разбить сложную задачу на несколько более простых. В иррациональных уравнениях с кв...
Видео
Конспект
Замена переменной в иррациональных уравнениях
Метод замены переменной хорошо знаком по предыдущим главам. Цель его - разбить сложную задачу на несколько более простых. В иррациональных уравнениях с квадратным корнем часто берут в качестве новой переменной радикал с естественным условием неотрицательности этой переменной.
Пример 1.6.
Условие
Решите уравнение 2x^2+3x+\sqrt{2x^2+3x+9}=33.
Решение
Данное уравнение удобно решать с помощью замены переменной, поскольку неизвестная величина x встречается в уравнении только в конструкции 2x^2 +
3x . В качестве новой переменной возьмем t=\sqrt{2x^2+3x+9} \geqslant 0 , тогда 2x^2+3x=t^2-9 . После указанной замены переменной имеем систему: \left\{\begin{array}{l}
t^2+t-42=0, \\
t \geqslant 0,
\end{array} \right.
~~\Longleftrightarrow~~
\left\{\begin{array}{l}
t_{1,2} = \frac{-1 \pm 13}{2}, \\
t \geqslant 0,
\end{array} \right.
~~\Longleftrightarrow~~
t = 6. Решая уравнение 2x^2 + 3x +9= 36 , получаем ответ.
Ответ -4,5;~~ 3 .
Задача 1.7.
Условие
Решите уравнение 5x^2+35x +32= \sqrt{x^2+7x+10}.
Решение
Введем новую переменную t= \sqrt{x^2+7x+10}, ~ t\ge 0 . Тогда 5x^2+35x +32= \sqrt{x^2+7x+10}\Longleftrightarrow 5(x^2+7x+10)-18= =\sqrt{x^2+7x+10}\Longleftrightarrow 5t^2-t-18=0. Положительный корень данного уравнения t=2 . Решаем уравнение \sqrt{x^2+7x+10}=2\Longleftrightarrow x^2+7x+6=0 и получаем решения x=-1;\quad x=-6 .
Ответ -1; ~~-6.
Пример 1.8.
Условие
Решите уравнение \sqrt{\frac{18-7x-x^2}{8-6x+x^2}}+\sqrt{\frac{8-6x+x^2}{18-7x-x^2}}=\frac{13}{6}.
Решение
С виду уравнение страшноватое, но если присмотреться, то ясно, что под знаком корня в слагаемых стоят взаимно обратные алгебраические выражения. Возьмем в качестве новой переменной t=\sqrt{\frac{18-7x-x^2}{8-6x+x^2}} > 0 \vphantom{\int\limits_-} . Тогда исходное уравнение сведется к квадратному: t+\frac{1}{t}=\frac{13}{6}\Longleftrightarrow 6t^2-13t+6=0. Найдем корни этого уравнения t_1=\frac{3}{2} и t_2=\frac{2}{3} и получим совокупность уравнений: \left [\begin{array}{l}
\frac{18-7x-x^2}{8-6x+x^2}=\frac{9}{4}, \vphantom{\int\limits_1} \\
\frac{18-7x-x^2}{8-6x+x^2}=\frac{4}{9},\\
\end{array} \right.\\
\left \{\begin{array}{l}
\left [\begin{array}{l}
13x^2=26x,\\
13(x^2+3x-10)=0,\\
\end{array} \right.\\
8-6x+x^2 \ne 0,
\end{array} \right.\Longleftrightarrow \left \{\begin{array}{l}
\left [\begin{array}{l}
(x-2)x=0,\\
(x+5)(x-2)=0,\\
\end{array} \right.\\
8-6x+x^2 \ne 0,
\end{array} \right.
\Longleftrightarrow
\left \{\begin{array}{l}
\left [\begin{array}{l}
x=0,\\
x=2,\\
x=-5,\\
\end{array} \right.\\
x \ne 2,\\
x\ne 4.
\end{array} \right. Системе удовлетворяют x=-5 и x=0 .
Ответ -5;~~0 .
Задача 1.9.
Условие
Решите уравнение \sqrt[5]{\frac{16z}{z-1}}+\sqrt[5]{\frac{z-1}{16z}}=\frac{5}{2}.
Решение
Введем новую переменную t=\sqrt[5]{\frac{16z}{z-1}} . Тогда получаем уравнение t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}\Longleftrightarrow 2t^2-5t+2=0 при условии t\ne 0 . Решениями последнего уравнения являются t=2;\quad t=\frac{1}{2} . Таким образом, получаем \frac{16z}{z-1}=32;\quad или \quad\frac{16z}{z-1}=\frac{1}{32}. Решая уравнения, получаем ответ: x=2 ; x= -\frac{1}{511}.
Ответ 2 ; -\frac{1}{511}.
Замена переменной еще не раз встретится в этом разделе при решении задач другими методами как их составная часть.