Иррациональные уравнения Часть1: Часть 4
Математика, 10 класс
Уравнения с корнем под знаком корня Задачи, в которых под знаком корня содержится еще один корень, требуют особого внимания, так как очень легко забыть о каком-нибудь ограничении. Пример 1.10. Условие...
Видео
Конспект
Уравнения с корнем под знаком корня
Задачи, в которых под знаком корня содержится еще один корень, требуют особого внимания, так как очень легко забыть о каком-нибудь ограничении.
Пример 1.10.
Условие
Решите уравнение \sqrt{x+2\sqrt{x-1}} - \sqrt{x-2\sqrt{x-1}} = 2.
Решение
Сразу отметим, что если подкоренные выражения неотрицательны, то есть уравнение имеет смысл, то первый корень в левой части уравнения, очевидно, всегда больше второго - значит, обе части уравнения неотрицательны. Возводим уравнение в квадрат и получаем с учетом ОДЗ: \begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
x+2\sqrt{x-1}+x- 2\sqrt{x-1}-2\sqrt{x^2-4x+4}= 4, \\
x\geqslant 1,\\
x-2\sqrt{x-1}\geqslant 0, \\
\end{array} \right. \Longleftrightarrow \\
\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
x-2=\sqrt{x^2-4x+4}, \\
x\geqslant 1,\\
x\geqslant 2\sqrt{x-1}, \\
\end{array} \right.\hskip-2mm\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
x-2=|x-2|, \\
x\geqslant 1,\\
x^2\geqslant 4x-4, \\
\end{array} \right. \hskip-2mm \Longleftrightarrow
x\geqslant 2.
\end{array}
Интересно, что решениями этого уравнения являются не одна или несколько точек, а целый промежуток.
Можно решить уравнение по-другому. Заметим, что оба подкоренных выражения представляют собой полные квадраты: \left(\sqrt{x-1}+1\right)^2=x-1+2\sqrt{x-1}+1=x+2\sqrt{x-1}; \left(\sqrt{x-1}-1 \right)^2=x-1-2\sqrt{x-1}+1=x-2\sqrt{x-1}. Тогда получаем \begin{array}{l}
\sqrt{x+2\sqrt{x-1}} - \sqrt{x-2\sqrt{x-1}} = 2
\Longleftrightarrow \\
\Longleftrightarrow \left| \sqrt{x-1}+1 \right|-
\left| \sqrt{x-1} - 1 \right| = 2 \Longleftrightarrow \vphantom{\int}\\
\Longleftrightarrow \sqrt{x-1}+1 - \left| \sqrt{x-1} - 1 \right| = 2 \Longleftrightarrow \vphantom{\int}\\
\left[\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{x-1}\geqslant 1,\\
\sqrt{x-1}+1-\sqrt{x-1}+1=2,\\
x\geqslant 1,
\end{array} \right.\\
\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{x-1} \leqslant 1, \\
\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1=2,\\
x\geqslant 1,
\end{array} \right.
\end{array} \right. \hskip-2mm \Longleftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
x\geqslant 2,\\
2=2,\\
\end{array} \right.\\
\left\{\begin{array}{l}
x \leqslant 2 ,\\
x=2,\\
\end{array} \right.
\end{array} \right. \hskip-2mm \Longleftrightarrow
x\geqslant 2.
\end{array} Естественно, получается тот же ответ.
Ответ [2;\infty) .
Задача 1.11.
Условие
Решите уравнение \sqrt{x-3-2\sqrt{x-4}} - \sqrt{x+5-6\sqrt{x-4}}=2.
Решение
Введите новую переменную \sqrt{x-4} . Тогда \sqrt{x-3-2\sqrt{x-4}} - \sqrt{x+5-6\sqrt{x-4}}=2\Longleftrightarrow \sqrt{x-4-2\sqrt{x-4}+1}-\sqrt{x-4-6\sqrt{x-4}+9}=2. Оба подкоренных выражения являются полными квадратами, и с учетом того, \sqrt{t^2}=|t| , получаем |\sqrt{x-4}-1|-|\sqrt{x-4}-3|=2\Longleftrightarrow |t-1|-|t-3|=2, где t=\sqrt{x-4} . Решаем уравнение с модулем, раскрывая его стандартным образом. \left\{ \begin{array}{l}
0\leq t\leq 1,\\
1-t+t-3=2.
\end{array}\right. В этой системе нет решений.
Далее, рассмотрим следующую область: \left\{ \begin{array}{l}
1\leq t\leq 3,\\
t-1+t-3=2.
\end{array}\right. Решение уравнения t=3 .
И, наконец, \left\{ \begin{array}{l}
t\geq 3\\
t-1-t+3=2.
\end{array}\right. Это уравнение в области t\geq 3 превращается в тождество.
В итоге имеем решение t\geq 3\Longleftrightarrow x\geq 13 .
Ответ [13;+\infty) .