Законы Ньютона: Часть 2

Сила как мера взаимодействия. Измерение силы

Опыт показывает, что движение или форма тела изменяется только под действием других тел. При отсутствии воздействий тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Для описания взаимодействия между телами вводится физическая величина - сила, дающая количественную меру этого взаимодействия.

Сила — векторная физическая величина, являющаяся мерой действия одного тела на другое.

Сила характеризуется модулем (величиной) \left| \vec{F} \right| , направлением и точкой приложения.

Физическая природа взаимодействия может быть различной: существуют гравитационные, электрические и другие взаимодействия. Но для всех видов взаимодействий количественная мера может быть выбрана единым образом - измерять силы разной природы можно в одних и тех же единицах с помощью одних и тех же эталонов.

В динамике природа силы несущественна, \textit{вопрос о происхождении сил в динамике не становится и не выясняется} . Благодаря такой универсальности динамика успешно описывает движение под действием сил любой природы.

\textbf{Измерить силу} -- значит сравнить ее с эталоном силы.

Большинство известных способов измерения сил основано на их свойстве вызывать упругую деформацию твердых тел. Например, в качестве эталонной силы можно взять упругую силу F_0 , которая вызывает деформацию x_0 . Пусть измеряемая сила F уравновешивается силой упругости пружины. Тогда F=F_0 .

image.png

Если же F вызывает деформацию 2x_0 , то F = 2F_0 .

image.png

Описанный подход измерения силы называется \textit{статическим} . Существует также динамический подход измерения силы (основан на наблюдении изменения скорости). Он будет описан далее.

Будем также считать, что две любые силы равны и противоположено направлены, если при одновременном действии только этих двух сил тело остается в покое или движется равномерно и прямолинейно в инерциальной системе отсчета.

Тогда мы можем воспроизвести эталон силы F_0 в любом количестве экземпляров. На этом принципе основана конструкция прибора для измерения сил.

Динамометр -- прибор для измерения сил.

Сложение сил

Проверим следующий факт: силы складываются, как вектора, т.е. к силам можно применять "правило параллелограмма". Рассмотрим систему: груз массой 500 г удерживается в равновесии двумя другими грузами, как показано .

image.png Опыт показывает, что равновесие возможно, если два других груза имеют массы 300 г и 400 г, причем угол между нитями -- прямой. В этом случае \vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3=\vec{0} Значит, силы складываются по правилу сложения векторов. Сила - векторная величина.

Второй закон Ньютона: связь силы, массы и ускорения

Количественная связь между ускорением тела в ИСО и вызывающим это ускорение силами была установлена Ньютоном экспериментально. Рассмотрим следующий эксперимент. Будем наблюдать за движением тележки под действием постоянной силы (измеряется динамометром) .

image.png Опыт показывает, что под действием постоянной силы F тележка, начинающая движение из состояния покоя, проходит за последовательные равные промежутки времени \tau пути S_1<S_2<S_3 , относящиеся как ряд нечетных чисел (признак равноускоренного движения)

S_1:S_2:S_3: \ldots= 1:3:5: \ldots

Значит, под действием постоянной силы \vec{F}=\vec{C}onst ускорение тела тоже будет постоянным: \vec{a} = \vec{C}onst

Зная это, можно, имея часы и сантиметровую ленту, определить ускорение по формуле:

S = \frac{at^2}{2} \quad \rightarrow \quad a = \frac{2S}{t^2}.

Для учета силы трения ее нужно измерить: прикрепить динамометр к тележке и тянуть ее равномерно. При равноускоренном движении результирующую силу определяют вычитанием силы трения из показаний динамометра.

Увеличим груз так, чтобы динамометр показал в два раза большую силу. Ускорение тележки увеличится в два раза. Значит,

\vec{a} \sim \vec{F}.

При действии нескольких сил их заменяют равнодействующей (векторной суммой):

\vec{a} \sim \sum_{i=1}^{N} \vec{F}_i

где N - число сил, действующих на тело.

Итак, изменяя массу тележки, получаем, что \vec{a} \sim \vec{F} с коэффициентом пропорциональности \frac{1}{m} :

\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m},

\vec{F}= m \cdot \vec{a}.

\textbf{Динамический способ измерения силы}:

Пусть тело массой 1 кг изменяет свою скорость на \Delta v = 1 \frac{\text{м}}{c} за t=1c в направлении действия силы. Тогда сила, действующая на тело равна 1H .

Понятие массы

Зафиксируем силу и поместим на тележку вторую такую же (вверх колесами). Подберем груз так, чтобы динамометр показывал ту же силу. В этом случае опыт показывает, что ускорение уменьшится вдвое.

image.png Ускорение зависит не только от силы, но и от свойств тела.

Свойство тел приобретать ускорение под действием силы называется \textbf{инертностью} .

Количественная мера инертности - \textbf{масса}.

\textbf{Второй закон Ньютона в векторной форме}:

\vec{a} = \frac{\sum_{i=1}^{N} \vec{F}_i}{m}.

Данное уравнение -- основное уравнение динамики.

\textbf{Второй закон Ньютона}: ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей сил, направлено в её сторону, а коэффициент пропорциональности обратен инертной массе:

\vec{a} = \frac{1}{m} \sum \vec{F}_i.

Масса - основная динамическая характеристика ( \textbf{инертная масса} ). Эталон массы -- платино-иридиевый цилиндр в Севре (Франция).

Единицы измерения:

[m] = \text{кг}.

\textbf{Способы измерения массы:}

1. Через силу и ускорение: \dfrac{a_1}{a_{\text{эт}}} = \dfrac{m_{\text{эт}}}{m_1} ,

2. Сравнение с эталоном на весах.

Свойства массы: аддитивная скалярная величина, не зависящая от положения и скорости (при v \ll c )

Единица силы (ньютон):

1\ \text{Н} = 1\ \text{кг} \cdot 1\ \text{м/с}^2.

\textbf{1 Н} -- сила, сообщающая телу массой 1 кг ускорение 1 м/с^2 .

Принцип суперпозиции сил. Равнодействующая сила

Ускорение, сообщаемое телу несколькими силами, равно векторной сумме ускорений, сообщаемых каждой силой в отдельности (то есть ускорение является аддитивной величиной):

\vec{a} = \vec{a}_1 + \vec{a}_2 + \ldots + \vec{a}_N.

Умножим левую и правую части равенства на m . Тогда

m \vec{a} = \underbrace{m\cdot \vec{a}_1}_{\vec{F}_1} + \underbrace{m\cdot \vec{a}_2}_{\vec{F}_2} + \ldots + \underbrace{m\cdot \vec{a}_N}_{\vec{F}_N},

\vec{a} = \frac{\vec{F}_1+\vec{F}_2+ \ldots+\vec{F}_N}{m}.

Геометрическая сумма сил, действующих на тело, называется \textbf{равнодействующей силой}

\vec{F}_\Sigma = \vec{F}_1+ \vec{F}_2 + \ldots+\vec{F}_N.

Это сила, действие которой эквивалентно действию всех сил на тело одновременно.

Из векторного характера перемещения и скорости вытекал принцип независимости движений. Справедливость векторного сложения величин означает справедливость принципа независимости сложения этих величин. Раз для сил доказана справедливость векторного сложения, то следовательно, для сил тоже должен быть справедлив принцип независимого действия или \textit{принцип суперпозиции сил} .

Действие каждой силы не зависит от присутствия или отсутствия других сил. Совместное действие нескольких сил всегда равно сумме независимых действий отдельных сил.

Теперь мы можем уточнить второй закон Ньютона: ускорение материальной точки прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе точки:

\vec{a} = \frac{\vec{F}_\Sigma }{m}.

Алгоритм решения динамических задач

Прочитать условие задачи, записать <<Дано>> и что требуется найти.

Сделать рисунок, на котором указать начальное и конечное положение тела, начальную скорость, ускорение, все силы, действующие на тело.

Указать на рисунке тело отсчета и связанную с ним систему координат. Указать, является ли данная система отсчета инерциальной. Обычно одну из координатных осей направляют по ускорению (исключением является торможение тела), при необходимости рассчитать кинематические характеристики.

Записать необходимые законы в векторной форме.

Спроецировать векторные уравнения на координатные оси.

Подсчитать количество неизвестных. Если их больше, чем уравнений, то найти способ записать новое уравнение.

Решить систему уравнений в общем виде.

Проверить размерность итогового решения.

Подставить числа и найти численный ответ.

Оценить реальность ответа.

Записать ответ.