Основные определения и соотношения. Теоремы синусов и косинусов.: Часть 5

Видео

Конспект

Рассмотрим еще одно понятие, возникающее в планиметрии - вневписанную окружность.

Определение. Вневписанной в треугольник окружностью называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.

Пример 1.9.

Условие

В треугольнике ABC даны три стороны AB , AC и BC . Найдите радиусы вневписанных окружностей.

Geom_158 Рис. 1.2: Вневписанная окружность

Решение

Рассмотрим одну из окружностей (см. рис. 1.2), радиусы остальных ищутся аналогично. Продолжим стороны \triangle ABC за точку B и за точку C . Построим биссектрисы внешних углов треугольника B и C . Обозначим их точку пересечения K . Эта точка равноудалена от прямых AB , BC и AC , так как лежит на пересечении биссектрис, и, следовательно, является центром вневписанной окружности. Опустим перпендикуляры на прямые AB , BC и AC , они равны радиусу этой окружности r . Тогда \begin{array}{l}

S_{ABC}=S_{ABK}+S_{ACK}-S_{BCK}= \\

\qquad= \frac{1}{2} r\cdot AB+\frac{1}{2} r\cdot AC-\frac{1}{2} r\cdot BC.

\end{array} Отсюда получаем искомую формулу для радиуса вневписанной окружности:

r=\frac{S_{ABC}}{p-BC}, где p - полупериметр \triangle ABC .

Задача 1.9.

Условие

Найдите длину вневписанной окружности наименьшего радиуса для треугольника со сторонами a=3,~~b=4 и углом \alpha между ними, для которого \cos \alpha=\frac{7}{8} .

Решение

Вневписанная окружность наименьшего радиуса касается наименьшей стороны. Найдем третью сторону треугольника c с помощью теоремы косинусов: c^2=a^2+b^2-2ab\cos \alpha\Longleftrightarrow c^2=9+16-2\cdot 3\cdot 4\frac{7}{8}\Longleftrightarrow c=2. Таким образом, надо найти радиус вневписанной окружности для наименьшей стороны c=2 . Для этого нужно найти площадь треугольника S=\frac{1}{2}a\cdot b\sin \alpha , где \sin\alpha=\sqrt{1- \left(\frac{7}{8}\right)^2}=\frac{\sqrt {15}}{8} r_c=\frac{S}{p-c}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot\frac{\sqrt {15}}{8}}{\frac{3+4+2}{2}-2}=\frac{3\sqrt {15}}{10}. Осталось найти длину окружности: L=2\pi r_c=\frac{3\pi\sqrt{15}}{5} .

Ответ \frac{3\pi\sqrt{15}}{5} .