Медиана и биссектриса: Часть 1

Видео

Конспект

Медиана и биссектриса

Медиана треугольника

Найдем длину медианы треугольника, если заданы три его стороны.

Пример 2.1.

Условие

В треугольнике ABC стороны BC , AC и AB равны a , b , c соответственно. Найдите длину медианы AD , проведенной к стороне BC .

Решение

Пусть \angle ADB = \varphi , AD= m_a . Запишем теорему косинусов для треугольников \triangle ABD и \triangle ACD (см. рис. 2.1.):

\left\{ {\begin{array}{l}

c^2= \left(\frac{a}{2} \right)^2+m_a^2-a\cdot m_a \cos{\varphi}, \\

b^2=\left(\frac{a}{2} \right)^2+m_a^2-a\cdot m_a \cos(\pi-\varphi).

\end{array}} \right. Geom_86 Рис. 2.1.: Медиана треугольника

Прибавим к первому уравнению системы второе, при этом слагаемые, содержащие косинус угла, взаимно уничтожатся. Из полученного соотношения b^2+c^2= 2m_a^2+\frac{a^2}{2} вытекает ответ на вопрос задачи: m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}.

Ответ \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} .

Теперь решим несколько задач, использующих полученную формулу, а также определение и свойства медианы.

Задача 2.2.

Условие

Определите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и \sqrt{15} см, а медиана третьей стороны равна 2 см.

Решение

Пусть в треугольнике a=1; ~ b=\sqrt{15} . Тогда для медианы m_c , проведенной к третьей стороне c , запишем формулу: m_c=\frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\Longleftrightarrow 2=\frac{1}{2} \sqrt{2 + 30 - c^2}. Отсюда получаем, что c=2 . Теперь можно найти площадь треугольника по формуле Герона. S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= =\sqrt{\frac{1+4+\sqrt{15}}{2} \left(\frac{1+4+\sqrt{15}}{2}-1\right)\left(\frac{1+4+\sqrt{15}}{2} -4\right)\left(\frac{1+4+\sqrt{15}}{2}-\sqrt{15}\right) }= =\sqrt{\frac{5+\sqrt{15}}{2} \cdot\frac{3+\sqrt{15}}{2}\cdot\frac{-3+\sqrt{15}}{2} \cdot\frac{5-\sqrt{15}}{2} }=\sqrt{\frac{25-15}{4}\cdot\frac{15-9}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2}.

Ответ \frac{\sqrt{15}}{2} см^2 .