Задачи на отношения и подобие Часть 1: Часть 1

Видео

Конспект

Задачи на отношения и подобие

В геометрии часто встречаются задачи, в которых либо даны, либо требуется найти отношения некоторых величин. Как правило, геометрические фигуры в такого рода задачах определены с точностью до преобразования подобия, то есть, если все линейные размеры увеличить в некоторое одинаковое для всех количество раз, снова получим фигуру, соответствующую исходному условию. Рекомендуется принять какие-либо размерные величины за новые переменные, затем выразить через них остальные. При поиске искомого отношения введенные размерные параметры должны сократиться.

По этой причине в задачах на отношения и подобие система уравнений может содержать неизвестных больше, чем число уравнений.

Основные определения и теоремы

Признаки подобия треугольников:

(по двум углам) если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны;

(этот признак подобия треугольников используется гораздо чаще остальных, обычно в случаях, изображенных на рисунке 5.1.);

Geom_91 Geom_92 Рис. 5.1.: Первый признак подобия треугольников, B_1 C_1 \| BC .

(по двум сторонам и углу между ними) если две стороны треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны;

(по трем сторонам) если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Как мы уже видели, подобные треугольники приходится рассматривать при решении задач с параллельными прямыми. Напомним некоторые определения и теоремы, касающиеся параллельных прямых на плоскости.

Определение 5.1 Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Аксиома параллельных прямых Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну.

Теорема 5.2 (Фалес) Если на одной стороне угла (например, на стороне OC \angle COC_1 ) (см. рис. 5.2.) отложены равные между собой отрезки ( AB = BC =

\dots ) и через их концы проведены параллельные прямые ( AA_1 , BB_1 , CC_1 , \dots ) до пересечения с другой стороной угла, то на этой стороне отложатся равные между собой отрезки ( A_1 B_1 = B_1 C_1 =

\dots ).

Непосредственно из теоремы Фалеса следует, что прямая, проведенная через середину стороны треугольника параллельно другой его стороне, делит третью сторону пополам, то есть является средней линией треугольника. Однако гораздо более удобна так называемая обобщенная теорема Фалеса, или теорема о пропорциональных отрезках.

Теорема 5.3 (Обобщенная теорема Фалеса) Параллельные прямые ( AA_1 , BB_1 , CC_1 , \dots ) (см. рис. 5.3.), пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки, то есть \frac{OA}{OA_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}.

Задачи на отношения длин отрезков, заданных на прямой или на сторонах угла

Рассмотрим сначала <<одномерные>> задачи на отношения, то есть задач на подобие отрезков, заданных на прямой.

Пример 5.1.

Условие

Точки A , B , C , D лежат на одной прямой в данном порядке. Известно, что \frac{AB}{BC} = k , \frac{BC}{CD} = l . Найдите \frac{AC}{BD} .

Решение

Обозначим BC = x , CD = y , тогда AB = kx , BC = ly (см. рис. 5.4.).

Geom_120 Рис. 5.4.: <<Одномерная>> задача на отношения.

С одной стороны отрезок BC = x , с другой стороны BC = ly . Отсюда получаем уравнение x = ly . Как уже отмечалось, в задачах на отношения часто количество уравнений на одно меньше, чем количество неизвестных. В данном случае у нас две неизвестных, поэтому достаточно одного полученного уравнения. Подставим в искомое отношение \frac{AC}{BD} в наше уравнение. Получим \frac{AC}{BD} = \frac{kx + ly}{ly + y} = \frac{kly + ly}{ly + y} =

\frac{kl + l}{l + 1}.

Ответ \frac{l(k + 1)}{l+1} .

Задача 5.2.

Условие

Точки A , B , C , D лежат на одной прямой в данном порядке. Известно, что \frac{AB}{CD} = k , \frac{BC}{BD} = l . Найдите \frac{AD}{BC} .

Решение

5.2 Пусть CD=x , тогда AB=kx ; BD=y , тогда BC=ly . Отсюда AD=kx+y; ~BC=ly , тогда \frac{AD}{BC}=\frac{kx+y}{ly} . Найдем связь x и y : BD=y=x+ly\Longrightarrow x=y(1-l) . Отсюда \frac{AD}{BC}=\frac{kx+y}{ly}=\frac{ky(1-l)+y}{ly}=\frac{k-kl+1}{l}.

Ответ \frac{k + 1 -kl}{l} .

Теперь рассмотрим более сложную задачу для отношения отрезков, расположенных на сторонах угла. Здесь не обойтись без теоремы Фалеса.

Пример 5.3.

Условие

Дан угол с вершиной O . На одном из его лучей расположены точки A , B , C , таким образом, что B лежит между A и O , а C - между B и O . Через каждую из этих точек проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла соответственно в точках A_1 , B_1 , C_1 . Известно, что \frac{A_1 C_1}{B_1 C_1} = p , \frac{BC}{BO} = q . Найдите \frac{AA_1}{CC_1} .

Решение

Geom_122 Рис. 5.5.

Обозначим B_1 C_1 = x , BO = y , AB = z , тогда A_1 C_1 = px , BC = qy (см. рис. 5.5.).

По обобщенной теореме Фалеса \begin{array}{l}

\frac{AB}{A_1 B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} \Longrightarrow

\hskip-1mm \frac{z}{px - x} = \frac{qy}{x} \\ \Longrightarrow

z = qy(p - 1). \vphantom{\frac{1}{2}}

\end{array} Искомое отношение найдем из подобия треугольников: \triangle OAA_1 \sim \triangle OCC_1 (по двум углам). Отсюда \frac{AA_1}{CC_1} = \frac{OA}{OC} = \frac{y + z}{y - qy} =

\frac{y + qy(p - 1)}{y(1 - q)} = \frac{1 + q(p - 1)}{1 - q}.

Необходимые соотношения были найдены по отрезкам на стороне OA . Можно их найти из стороны OA_1 . Обозначим OC_1=t , тогда по теореме Фалеса \frac{t}{x}=\frac{y-qy}{qy}\Longrightarrow x=\frac{tq}{1-q} . Из подобия треугольников \frac{AA_1}{CC_1} = \frac{OA_1}{OC_1} = \frac{px + t}{t} =

\frac{\frac{ptq}{1-q}y +t}{t} = \frac{1 + q(p - 1)}{1 - q}.

Ответ \frac{pq + 1 - q}{1 - q} .

Пропорциональные отрезки в треугольнике. Биссектриса

Начнем с уже известных пропорциональных отрезков в треугольнике: докажем теорему о биссектрисе.

Теорема 5.4 Биссектриса любого угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Geom_121 Рис. 5.6.: Свойство биссектрисы.

Доказательство

Пусть AD - биссектриса \angle A в \Delta ABC . Покажем, что \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} . В данной задаче нет знакомых нам конструкций подобных треугольников, поэтому их следует создать с помощью дополнительного построения. Проведем прямую BE \parallel AC (см. рис. 5.6.).

Углы \angle CAD и \angle BED равны как накрест лежащие. Углы \angle CAD и \angle BAD равны, так как AD - биссектриса. Следовательно, \angle BAD = \angle BED , поэтому \Delta ABE равнобедренный, то есть AB = BE . \Delta ADC \thicksim \Delta BDE по двум углам. Отсюда \frac{BE}{AC} = \frac{BD}{DC}~~\Longrightarrow~~

\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}. Теорема доказана.

А далее вспомним, как применяется эта теорема.