Задачи на отношения и подобие Часть 1: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 5.4.

Условие

В \Delta ABC длины сторон AB , BC и AC относятся как 2:4:5 соответственно. Найдите в каком отношении делятся биссектрисы AD , BE и CH внутренних углов треугольника точкой Q их пересечения.

Geom_162 Рис. 5.7.

Решение

Найдем, например, в каком отношении делится точкой пересечения биссектриса BE (см. рис. 5.7.). По свойству биссектрисы BE в \triangle ABC \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{2a}{4a} = \frac{1}{2} \Longrightarrow

EC = 2AE. С другой стороны AE + EC = 5a . Отсюда AE = \frac{5}{3} a . Рассмотрим \triangle ABE . По свойству биссектрисы AQ в \triangle ABE \frac{BQ}{QE} = \frac{AB}{AE} = \frac{2a \cdot 3}{5a} = \frac{6}{5}. Найдем \frac{AQ}{QD} . В треугольнике ABD биссектриса BQ делит сторону AD в отношении \frac{AQ}{QD}=\frac{AB}{BD} . В \triangle ABC \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\Longleftrightarrow \frac{BD}{4a-BD}=\frac{2a}{5a} откуда BD=\frac{8}{7}a . Зная BD , найдем \frac{AQ}{QD}=\frac{2a}{\frac{8}{7}a}=\frac{7}{4}.

Ответ \frac{AQ}{QD} = \frac{7}{4} ; \frac{BQ}{QE} = \frac{6}{5} ; \frac{CQ}{QH} = \frac{9}{2} .

Подобие треугольников

Пример 5.5.

Условие

На продолжении биссектрисы AL \Delta ABC за точку A взята такая точка D , что AD = 10 и \angle BDC = \angle BAL = 60^\circ . Найдите площадь \Delta ABC . Какова наименьшая возможная площадь \triangle BCD при данных условиях?

Решение

Geom_160 Рис. 5.8.

1. Пусть \angle BDA = \alpha , тогда \angle ADC = 60^\circ - \alpha (см. рис. 5.8.). Отсюда следует, что \angle DBA = 180^\circ - (120^\circ + \alpha) = 60^\circ - \alpha , \angle DCA = 180^\circ - (60^\circ - \alpha + 120^\circ) = \alpha . По первому признаку подобия \triangle ABD \sim \triangle ADC , поэтому \frac{DA}{AC} = \frac{AB}{DA} \Longrightarrow DA^2 = AB \cdot AC = 100. Отсюда S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} . \begin{array}{l}

2.~~ S_{\triangle BCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD} + S_{\triangle ABD} = \\

= 25 \sqrt 3 + \frac{1}{2} AC \cdot AD \sin 120^\circ + \frac{1}{2} AB \cdot AD \sin 120^\circ = \\

= 25 \sqrt 3 + 5 \sqrt 3 \cdot \frac{AC + AB}{2} \geqslant 25 \sqrt 3 + 5 \sqrt 3 \cdot \sqrt{AC \cdot AB} = \\

= 25 \sqrt 3 + 50 \sqrt 3 = 75 \sqrt 3,

\end{array} поскольку среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического.

Ответ 25\sqrt 3 , 75 \sqrt 3 .