Равнобедренные треугольники: Часть 1

Видео

Конспект

Равнобедренные треугольники

Geom_134 Рис. 4.1.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. У него углы при основании равны, а высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Эта высота есть, очевидно, ось симметрии треугольника, центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой высоте или на ее продолжении (для описанной окружности).

Пример 4.1.

Условие

Докажите, что если у треугольника две медианы равны, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство

Пусть точка O есть точка пересечения медиан AD=CE=m (см. рис. 4.1.).

Тогда AO=CO=\frac{2}{3}m , OE=OD=\frac{1}{3}m . Углы \angle AOE=\angle COD как вертикальные, следовательно, \triangle

AOE=\triangle COD по первому признаку равенства треугольников. Против равных углов лежат равные стороны, поэтому AE=DC . Но AB=2AE и DC=2DC , поэтому AB=BC , что и требовалось доказать.

Задача 4.2.

Условие

Дан \Delta ABC , AD и BE - биссектрисы, отрезок DE

\parallel AB . Докажите, что \Delta ABC - равнобедренный.

Доказательство

4.2 \angle CAD=\angle DAB , так как AD - биссектриса; \angle EDA=\angle DAB , так как ED\parallel AB . Значит, \triangle AED - равнобедренный, AE=ED . Аналогично, рассматривая биссектрису BE , можно доказать, что BD=ED . таким образом, мы получили равнобокую трапецию, следовательно, \angle CAB=\angle CBA , и \triangle ACB - равнобедренный.

Пример 4.3.

Условие

В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на основание и на боковую сторону, равны соответственно m и n . Найдите стороны треугольника.

Geom_135 Рис. 4.2.

Решение

Пусть основание AC=a , а боковые стороны AB=BC=b (см. рис. 4.2.).

Тогда, записывая площадь треугольника двумя способами, получаем S=\frac{ma}{2}=\frac{nb}{2}. Второе соотношение найдем по теореме Пифагора: b^2=\frac{a^2}{4}+m^2. Выразив a=\frac{nb}{m} из первого соотношения и подставив его во второе, получаем b^2= \frac{nb^2}{4m^2}+m^2\Longleftrightarrow

b^2 = \frac{m^2}{1-\frac{n^2}{4m^2}}. Таким образом, b=\frac{2m^2}{\sqrt{4m^2-n^2}} , a=\frac{nb}{m}=\frac{2mn}{\sqrt{4m^2-n^2}} .

Ответ \frac{2 m n}{\sqrt{4m^2 - n^2}} ; \frac{2 m^2}{\sqrt{4m^2 - n^2}} ; \frac{2 m^2}{\sqrt{4m^2 - n^2}} .

Задача 4.4.

Условие

В равнобедренном треугольнике проведены биссектриса угла при основании и биссектриса угла при вершине. Найдите косинус тупого угла между ними, если синус угла при основании треугольника равен \frac{\sqrt{975}}{32} .

Решение

4.4 В треугольнике ABC AB=BC , биссектрисы AE и BD пересекаются в точке O . Обозначим \angle BAD =\alpha . Тогда \angle BAE=\frac{\alpha}{2} , \angle ABD=\frac{\pi}{2}-\alpha . Тогда искомый угол \angle AOB=\pi-\frac{\alpha}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha}{2} . \cos \angle AOB=\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha}{2} \right)=-\sin\frac{\alpha}{2} . Найдем \cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\frac{7}{32} , тогда \sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{25}{64}. Значит, косинус тупого угла равен \left(-\frac{5}{8}\right) .

Ответ - \frac{5}{8} .