Основные определения и соотношения. Теоремы синусов и косинусов.: Часть 1

Видео

Конспект

Треугольники

Основные определения и соотношения

Пусть задан треугольник \Delta ABC . Примем стандартные обозначения:

\boldsymbol{A} , \boldsymbol{B} , \boldsymbol{C} - углы треугольника;

\boldsymbol{a} , {\boldsymbol{b}} , {\boldsymbol{c}} - противолежащие этим углам стороны;

{\boldsymbol{p}} = \frac{1}{2} (a + b + c) - полупериметр треугольника;

{\boldsymbol{R}} - радиус описанной вокруг треугольника окружности;

{\boldsymbol{r}} - радиус вписанной в треугольник окружности;

{\boldsymbol{S}} - площадь треугольника;

{\boldsymbol{l}}_{{\boldsymbol{a}}} - биссектриса угла A ;

{\boldsymbol{m}}_{\boldsymbol{a}} - медиана, проведенная к стороне a ;

{\boldsymbol{h}}_{{\boldsymbol{a}}} - высота треугольника, опущенная на сторону a .

Приведем некоторые известные из школьного курса основные определения, теоремы и соотношения:

Условие существования треугольника - любая сторона треугольника меньше суммы двух других: a + b > c , b + c > a , c + a > b .

Признаки равенства треугольников:

если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны;

если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны;

если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую сторону или ее продолжение;

треугольник имеет три высоты, которые пересекаются в одной точке.

Медианой треугольника называется отрезок прямой, соединяющий вершину какого-нибудь угла треугольника с серединой противоположной стороны:

треугольник имеет три медианы, которые пересекаются в одной точке, причем каждая из них точкой пересечения делится в отношении 2:1, считая от вершины;

любая медиана делит треугольник на два равновеликих (одинаковой площади).

Биссектрисой треугольника называется отрезок прямой, делящий угол треугольника пополам и соединяющий вершину этого угла с противоположной стороной:

треугольник имеет три биссектрисы, которые пересекаются в одной точке;

точки биссектрисы равноудалены от сторон угла треугольника, точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности;

биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим этому к углу сторонам треугольника.

Серединные перпендикуляры треугольника, то есть перпендикуляры, проведенные через середины его сторон, пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной около треугольника окружности.

Средней линией треугольника называется прямая, соединяющая середины двух сторон треугольника:

средняя линия параллельна третьей стороне (основанию);

средняя линия равна половине длины основания.

В любой треугольник можно вписать, и притом только одну, окружность:

ее радиус равен r = \frac{S}{p} , где S - площадь треугольника, p - полупериметр;

ее центр лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Вокруг любого треугольника можно описать, и притом только одну, окружность:

ее центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров треугольника;

радиус окружности ищется либо по формуле R = \frac{abc}{4S} , либо с помощью теоремы синусов.

Сумма углов треугольника равна \pi .

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с одним из углов треугольника;

внешний угол равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Теорема синусов: \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R .

Теорема косинусов: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C .

Формулы для площади: S = \frac{1}{2}ah_a = pr = \frac{1}{2} ab\sin C = \frac{abc}{4R} = \sqrt

{p(p - a)(p - b)(p - c)}.

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним. Перечислим основные свойства равностороннего треугольника со стороной a :

все углы равны 60^{\circ} ;

высоты являются биссектрисами и медианами и пересекаются в одной точке;

эта точка, называемая центром треугольника, является также центром вписанной и описанной окружностей;

высота равна \frac{a\sqrt 3}{2} , радиусы вписанной и описанной окружностей в сумме составляют высоту;

радиус вписанной окружности r = \frac{a\sqrt 3}{6} ;

радиус описанной окружности R = \frac{a\sqrt 3}{3} ;

площадь S = \frac{a^2\sqrt 3}{4} .