Основные определения и соотношения. Теоремы синусов и косинусов.: Часть 4

Видео

Конспект

Пример 1.7.

Условие

Один из углов треугольника равен 60^\circ , радиус описанной около него окружности равен \frac{7}{\sqrt 3} , а радиус вписанной окружности равен \sqrt 3 . Найдите площадь треугольника.

Решение

Обозначим стороны треугольника ABC как a, b, c . Пусть угол B=60^\circ . Сначала найдем по теореме синусов сторону b : \frac{b}{\sin 60^\circ}=2\frac{7}{\sqrt{3}}\Longleftrightarrow b=7. Теперь запишем площадь треугольника двумя способами: \left\{ {\begin{array}{l}

S= \frac{1}{2}ac\sin 60^\circ, \\

S=\frac{a+b+c}{2}r, \\

\end{array}} \right. где r - радиус вписанной окружности. Приравняем эти два выражение друг другу. Это будет первое соотношение для неизвестных величин a и c . Второе соотношение получим из теоремы косинусов. \left\{ {\begin{array}{l}

\frac{1}{2}ac\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a+7+c}{2}\sqrt{3}, \\

49=a^2+c^2-2ac\frac{1}{2},

\end{array}} \right.\Longleftrightarrow

\left\{ {\begin{array}{l}

ac=2(a+c)+14, \\

49=(a+c)^2-3ac.

\end{array}} \right. Требуется найти не стороны, а только a\cdot c , поэтому решаем систему относительно переменных a+c и a\cdot c . Решением будет a\cdot c=40.

Ответ 10 \sqrt 3 .

Задача 1.8.

Условие

В треугольнике ABC \angle B=60^\circ , радиус описанной около него окружности равен R=\sqrt{ \frac{7}{ 3}} . Найдите стороны треугольника, если высота треугольника h , опущенная из вершины B , удовлетворяет условию hR=3 .

Решение

Сначала найдем сторону b по теореме синусов: \frac{b}{\sin B}=2R\Longleftrightarrow b=2\sqrt{ \frac{7}{ 3}}\cdot \frac{\sqrt 3}{2}=\sqrt 7. Далее найдем высоту: h=\frac{3}{R}=\frac{3\sqrt 3}{\sqrt 7} и составим систему уравнений. Первое уравнение записывает площадь треугольника двумя способами, второе — теорему косинусов. \left\{ {\begin{array}{l}

\frac{1}{2}h\cdot b=\frac{1}{2}ac\sin 60^{\circ}, \\

b^2=a^2+c^2-2ac\cos 60^{\circ},

\end{array}} \right.\Longleftrightarrow

\left\{ {\begin{array}{l}

ac=6, \\

a^2+c^2=13.

\end{array}} \right. Решением системы будут a=2,~~c=3 .

Ответ 2 , 3 , \sqrt 7 .